13. К окружности с диаметром AB в точке A проведена касательная. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружность в точке C и касательную в точке K. Через точку C проведена хорда CD параллельно AB так, что получилась трапеция ACDB. Через точку D проведена касательная, пересекающая прямую AK в точке E. Найдите радиус окружности, если прямые DE и BC параллельны, ∠EDC = 30° и KB = 14√3.

Обозначим радиус окружности через \(R\). Так как \(AB\) — диаметр, а \(CD\parallel AB\), хорда \(CD\) горизонтальна.

Угол между прямыми \(DE\) и \(DC\) равен \(30^\circ\). Поскольку \(DE\parallel BC\), то угол между \(BC\) и диаметром \(AB\) также равен \(30^\circ\).

Введём координаты: \(A(-R,0)\), \(B(R,0)\). Пусть \(C\) — точка окружности, расположенная выше диаметра. Тогда из угла наклона прямой \(BC\) получаем положение точки:

\(C\left(-\frac R2,\frac{\sqrt3 R}{2}\right)\).

Так как хорда \(CD\) параллельна диаметру \(AB\), точка \(D\) симметрична точке \(C\) относительно вертикального диаметра:

\(D\left(\frac R2,\frac{\sqrt3 R}{2}\right)\).

Касательная к окружности в точке \(D(x_D,y_D)\) имеет уравнение

\[xx_D+yy_D=R^2.\]

Подставим координаты точки \(D\):

\[\frac R2x+\frac{\sqrt3 R}{2}y=R^2.\]

Прямая \(AK\) — касательная в точке \(A\), поэтому её уравнение \(x=-R\). Найдём координату точки \(E\):

\[\frac R2(-R)+\frac{\sqrt3 R}{2}y_E=R^2,\]

\[y_E=\sqrt3 R.\]

Прямая \(BC\) параллельна \(DE\). Её угловой коэффициент равен

\[k_{BC}=\frac{\frac{\sqrt3 R}{2}-0}{-\frac R2-R}=-\frac1{\sqrt3}.\]

Точка \(K\) лежит на прямой \(AK\), поэтому \(x_K=-R\). Подставляя это значение в уравнение прямой \(BC\), получаем

\[y_K=\frac{2R}{\sqrt3}.\]

Следовательно, в прямоугольном треугольнике с катетами \(2R\) и \(\frac{2R}{\sqrt3}\):

\[KB=\sqrt{(2R)^2+\left(\frac{2R}{\sqrt3}\right)^2}=\sqrt{4R^2+\frac{4R^2}{3}}=\frac{4R}{\sqrt3}.\]

По условию \(KB=14\sqrt3\), значит

\[\frac{4R}{\sqrt3}=14\sqrt3,\]

\[4R=42,\qquad R=\frac{42}{4}=\frac{21}{2}.\]

Ответ: \(\frac{21}{2}\).