13. Докажите, что: 1) $a^3-6a^2+a-6\ge0$, если $a\ge6$; 2) $ab+1>a+b$, если $a>1$ и $b>1$; 3) $\frac{a+3}{2}+\frac{3a-2}{4}<a$, если $a<-6$.

Question

$Фото задания: 13. Докажите, что: 1) $a^3-6a^2+a-6\ge0$, если $a\ge6$; 2) $ab+1>a+b$, если $a>1$ и $b>1$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим выражение на множители:
\[a^3-6a^2+a-6=a^2(a-6)+(a-6)=(a-6)(a^2+1).\]
Так как $a\ge6$, то $a-6\ge0$, а $a^2+1>0$. Следовательно, $(a-6)(a^2+1)\ge0$.
Неравенство доказано.
Перенесём все слагаемые в левую часть и разложим на множители:
\[ab+1-a-b=ab-a-b+1=(a-1)(b-1).\]
Так как $a>1$ и $b>1$, то $a-1>0$ и $b-1>0$. Поэтому $(a-1)(b-1)>0$, значит, $ab+1>a+b$.
Неравенство доказано.
Вычтем левую часть из правой:
\[a-\left(\frac{a+3}{2}+\frac{3a-2}{4}\right)=\frac{4a-2(a+3)-(3a-2)}{4}=\frac{-a-4}{4}.\]
Если $a<-6$, то $-a>6$, следовательно, $-a-4>2>0$. Поэтому $\frac{-a-4}{4}>0$, то есть левая часть меньше $a$.
Неравенство доказано.

13. Докажите, что: 1) \(a^3-6a^2+a-6\ge0\), если \(a\ge6\); 2) \(ab+1>a+b\), если \(a>1\) и \(b>1\); 3) \(\frac{a+3}{2}+\frac{3a-2}{4}<a\), если \(a<-6\).