13 Дан треугольник АВС. Известно, что АВ = BC = 25, AC = 40. Найдите синус угла А.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ AB = BC = 25 \]
• \[ AC = 40 \]

Найти:

• \[ \sin A \]

Решение:

1. Построение высоты: Так как \[ AB = BC \], \[ \triangle ABC \] — равнобедренный. Проведем высоту \[ BH \] к основанию \[ AC \]. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.
2. Нахождение отрезка AH: \[ AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{40}{2} = 20 \]
3. Нахождение высоты BH: В прямоугольном треугольнике \[ \triangle ABH \] по теореме Пифагора: \[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \] \[ 25^2 = 20^2 + BH^2 \] \[ 625 = 400 + BH^2 \] \[ BH^2 = 625 - 400 = 225 \] \[ BH = \sqrt{225} = 15 \]
4. Нахождение синуса угла A: В прямоугольном треугольнике \[ \triangle ABH \]: \[ \sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{15}{25} \]
5. Сокращение дроби: \[ \sin A = \frac{15}{25} = \frac{3 \times 5}{5 \times 5} = \frac{3}{5} \]

Ответ: 3/5