13(b) Here are the first five terms of a different quadratic sequence: 0, 2, 6, 12, 20. Find an expression, in terms of n, for the nth term of this sequence.

Перевод задания: Даны первые пять членов другой квадратичной последовательности: 0, 2, 6, 12, 20. Найдите выражение через n для n-го члена этой последовательности.

Solution:

The first differences are:

\(2,\ 4,\ 6,\ 8\).

The second differences are constant:

\(2,\ 2,\ 2\).

Testing the expression \(n^2-n\):

\(1^2-1=0\), \(2^2-2=2\), \(3^2-3=6\), \(4^2-4=12\), \(5^2-5=20\).

Therefore:

Answer: The nth term is \(n^2-n\), or equivalently \(n(n-1)\).

Перевод решения: Первые разности равны \(2, 4, 6, 8\), а вторые разности постоянны и равны 2. Проверим выражение \(n^2-n\): оно даёт значения 0, 2, 6, 12, 20 для первых пяти членов.

Ответ: n-й член равен \(n^2-n\), или \(n(n-1)\).