13 а) Решите уравнение 4 cos⁴x - 4 cos²x + 1 = 0.

Решение:

Это биквадратное уравнение относительно \( \cos^2 x \). Сделаем замену: \( y = \cos^2 x \). Тогда уравнение примет вид:

\( 4y^2 - 4y + 1 = 0 \)

1. Найдём дискриминант: \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0 \).
2. Так как \( D = 0 \), уравнение имеет один корень: \( y = \frac{-(-4)}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \).
3. Подставим обратно \( \cos^2 x \): \( \cos^2 x = \frac{1}{2} \).
4. Отсюда \( \cos x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \).
5. Решим два простейших тригонометрических уравнения:

1. \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Общий вид корней: \( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

2. \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Общий вид корней: \( x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Объединяя эти два случая, можно записать корни как \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).