13 а) Решите уравнение 4 cos⁴ x - 4 cos²x + 1 = 0.

Решение:

Данное уравнение является биквадратным относительно \( \cos^2 x \). Сделаем замену \( y = \cos^2 x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 4y^2 - 4y + 1 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Найдём его корни.

1. Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0 \).
2. Так как \( D = 0 \), уравнение имеет один корень: \( y = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \).

Теперь вернёмся к замене:

\[ \cos^2 x = \frac{1}{2} \]

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\[ \cos x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Получаем два случая:

1. \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Общее решение: \( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

2. \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Общее решение: \( x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Объединяя оба случая, получаем:

\[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \], где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).