13.5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 138°, угол CAD равен 83°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

\( \angle ADC = 180° - \angle ABC = 180° - 138° = 42° \)

Углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Угол ABD опирается на дугу AD, а угол ACD опирается на ту же дугу AD.

\( \angle ABD = \angle ACD \)

Угол CAD опирается на дугу CD, а угол CBD опирается на ту же дугу CD.

\( \angle CBD = \angle CAD = 83° \)

В треугольнике ADC:

\( \angle ACD = 180° - \angle ADC - \angle CAD = 180° - 42° - 83° = 55° \)

Значит, \( \angle ABD = \angle ACD = 55° \).

Ответ: 55.