13. 4x * sqrt(x+3) + x^2 * sqrt(x+3) = 0

Решение:

Перед нами иррациональное уравнение. Для начала вынесем общий множитель \( \sqrt{x+3} \) за скобки:

• \( \sqrt{x+3} (4x + x^2) = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. \( \sqrt{x+3} = 0 \)

• Возведём обе части уравнения в квадрат:
• \( x + 3 = 0 \)
• \( x = -3 \)

Проверим, подходит ли этот корень:

• \( -3 + 3 = 0 \). Корень подходит.

1. \( 4x + x^2 = 0 \)

• Вынесем общий множитель \( x \) за скобки:
• \( x(4 + x) = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

• \( x = 0 \)
• \( 4 + x = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = -4 \)

Проверим найденные корни:

• Для \( x = 0 \): \( \sqrt{0+3} = \sqrt{3} \) — действительное число. Подходит.
• Для \( x = -4 \): \( \sqrt{-4+3} = \sqrt{-1} \) — мнимое число. Данный корень не подходит, так как мы ищем действительные решения.

Таким образом, у нас есть два действительных корня: \( x = -3 \) и \( x = 0 \).

Ответ: x = -3, x = 0.