№13.3 (Дальний Восток, не подтверждено) а) Решите уравнение log₂(sin 2x) = log₂(√2 cos x). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-π; π/2].

Решение:

а) Решим уравнение:

1. ОДЗ: \( \sin 2x > 0 \) и \( \cos x > 0 \).
2. Из условия \( \log_2(\sin 2x) = \log_2(\sqrt{2} \cos x) \) следует: \( \sin 2x = \sqrt{2} \cos x \)
3. Используем формулу двойного угла для синуса: \( 2 \sin x \cos x = \sqrt{2} \cos x \)
4. Перенесём всё в одну сторону: \( 2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \cos x = 0 \)
5. Вынесем общий множитель \( \cos x \): \( \cos x (2 \sin x - \sqrt{2}) = 0 \)
6. Отсюда получаем два случая:
• Случай 1: \( \cos x = 0 \). Это приводит к \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). При этих значениях \( \sin 2x = \sin(\pi + 2\pi n) = 0 \), что не удовлетворяет ОДЗ \( \sin 2x > 0 \). Поэтому этот случай не подходит.
• Случай 2: \( 2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \). Тогда \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
• Решениями этого уравнения являются \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) и \( x = \\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
7. Теперь проверим ОДЗ:
• Для \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \):
• \( \cos x = \cos(\frac{\pi}{4} + 2\pi k) = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 \) (условие \( \cos x > 0 \) выполнено).
• \( \sin 2x = \sin(\frac{\pi}{2} + 4\pi k) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 > 0 \) (условие \( \sin 2x > 0 \) выполнено).
• Значит, \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) — подходит.
• Для \( x = \\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \):
• \( \cos x = \cos(\frac{3\pi}{4} + 2\pi k) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0 \) (условие \( \cos x > 0 \) не выполнено).
• Этот случай не подходит.

б) Найдем корни на отрезке [−π; π/2]:

1. Из найденных решений \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) нужно выбрать те, что попадают в отрезок \( [-\pi; \frac{\pi}{2}] \).
2. При \( k = 0 \): \( x = \frac{\pi}{4} \). Это значение принадлежит отрезку \( [-\pi; \frac{\pi}{2}] \).
3. При \( k = -1 \): \( x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} \). Это значение меньше \( -\pi \) и не принадлежит отрезку.
4. При \( k = 1 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \). Это значение больше \( \frac{\pi}{2} \) и не принадлежит отрезку.

Ответ: а) \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \); б) \( \frac{\pi}{4} \).