13.14. Квадрат со стороной длины а вращается около оси, параллельной его стороне и отстоящей от ближайшей стороны на ее длину. Найдите площадь поверхности фигуры вращения.

Решение:

При вращении квадрата вокруг оси, параллельной одной из его сторон и отстоящей от неё на расстояние, равное длине стороны, образуется цилиндр.

Высота цилиндра будет равна стороне квадрата: \( h = a \).

Радиус цилиндра будет равен расстоянию от оси вращения до противоположной стороны квадрата, которое равно двум длинам стороны квадрата (расстояние от ближайшей стороны до оси + длина стороны): \( r = a + a = 2a \).

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: \( S = 2\pi r h + 2\pi r^2 \).

Подставляем значения \( h = a \) и \( r = 2a \):

\[ S = 2\pi (2a) (a) + 2\pi (2a)^2 \]\[ S = 4\pi a^2 + 2\pi (4a^2) \]\[ S = 4\pi a^2 + 8\pi a^2 \]\[ S = 12\pi a^2 \]

Ответ: Площадь поверхности фигуры вращения равна \( 12\pi a^2 \).