124. Докажите, что при любом значении x верно неравенство: а) 4x² + 12x + 9 ≥ 0; б) −5x² + 8x − 5 < 0.

а) Выделим квадрат двучлена:

\(4x^2+12x+9=(2x+3)^2\).

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому \((2x+3)^2\ge 0\) при любом \(x\).

б) Выделим квадрат двучлена:

\(-5x^2+8x-5=-5\left(x-\frac45\right)^2-\frac95\).

Так как \(\left(x-\frac45\right)^2\ge 0\), то \(-5\left(x-\frac45\right)^2\le 0\). Следовательно, \(-5\left(x-\frac45\right)^2-\frac95\le-\frac95<0\) при любом \(x\).

Ответ: оба неравенства верны при любом действительном значении \(x\).