12. Тип 9 № 512395 i При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, вычисляется по закону $$l = l_0 √{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$, где $$l_0 = 50$$ м — длина покоящейся ракеты, $$c = 3 \times 10^5$$ км/с — скорость света, а $$v$$ — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть скорость ракеты, чтобы её наблюдаемая длина стала равна 14 м? Ответ выразите в км/с.

Решение:

Дано:

• Наблюдаемая длина ракеты: \( l = 14 \text{ м} \)
• Длина покоящейся ракеты: \( l_0 = 50 \text{ м} \)
• Скорость света: \( c = 3 \times 10^5 \text{ км/с} \)
• Формула: \( l = l_0 √{1 - \frac{v^2}{c^2}} \)

Найти:

• Скорость ракеты: \( v \)

Ход решения:

1. Подставим известные значения в формулу: \( 14 = 50 √{1 - \frac{v^2}{c^2}} \)
2. Выразим квадратный корень: \( √{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{14}{50} = \frac{7}{25} \)
3. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( 1 - \frac{v^2}{c^2} = \bigg(\frac{7}{25}\bigg)^2 = \frac{49}{625} \)
4. Выразим \( \frac{v^2}{c^2} \): \( \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625} \)
5. Найдём \( v^2 \): \( v^2 = c^2 \times \frac{576}{625} \)
6. Найдём \( v \): \( v = √{c^2 \times \frac{576}{625}} = c \times √{\frac{576}{625}} = c \times \frac{24}{25} \)
7. Подставим значение \( c \): \( v = 3 \times 10^5 \text{ км/с} \times \frac{24}{25} \)
8. Вычислим \( v \): \( v = \frac{3 \times 10^5 \times 24}{25} = \frac{72 \times 10^5}{25} = 2.88 \times 10^5 \text{ км/с} \)

Ответ: 288000 км/с.