12. Рис. 388. M, N, K, P — точки касания, BC = 5. Найти: AB + CD.

Решение:

1. Свойство касательных, проведенных из одной точки:

Для четырехугольника, описанного около окружности (т.е. имеющего вписанную окружность), сумма противоположных сторон равна:

\[ AB + CD = BC + AD \]

2. Анализ данного:

Нам дано, что M, N, K, P — точки касания, что означает, что четырехугольник ABCD описан около некоторой окружности. Нам также дана длина одной из сторон $$BC = 5$$.

3. Применение свойства:

Исходя из свойства описанного четырехугольника:

\[ AB + CD = BC + AD \]

Нам нужно найти $$AB + CD$$. Мы знаем $$BC = 5$$. Однако, значение $$AD$$ не предоставлено.

4. Проверка изображения:

На изображении (Рис. 388) видны длины некоторых отрезков, образованных точками касания: $$AP = 5$$, $$PD = 4$$, $$DN = ?$$, $$NC = ?$$, $$CK = ?$$, $$KB = ?$$, $$BM = ?$$, $$MA = ?$$. Также на рисунке есть обозначение $$BC=5$$.

Если $$BC = 5$$ означает длину стороны BC, а не другого отрезка, и точки M, N, K, P являются точками касания, то ABCD — описанный четырехугольник.

Из рисунка видно, что $$BC = BM + MC = 5$$.

Также из рисунка видно, что $$AP = 5$$ и $$AD$$ состоит из отрезков $$AP$$ и $$PD$$. $$PD = 4$$. Таким образом $$AD = AP + PD = 5 + 4 = 9$$.

Из свойства описанного четырехугольника:

\[ AB + CD = BC + AD \]

\[ AB + CD = 5 + 9 \]

\[ AB + CD = 14 \]

Ответ: 14