12. Приведите пример трёхзначного натурального числа, большего 500, которое при делении на 8 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение:

Искомое число трёхзначное, большее 500. Обозначим его как \( \overline{abc} \), где \( a \in \{5, 6, 7, 8, 9\} \), \( b \) и \( c \) — цифры.

Условие 1: При делении на 8 и на 5 даёт равные ненулевые остатки.

Остатки при делении на 5 могут быть 1, 2, 3, 4. Остатки при делении на 8 могут быть 1, 2, ..., 7.

Равные ненулевые остатки возможны, если они меньше 5. Проверим остатки 1, 2, 3, 4.

Условие 2: Средняя цифра является средним арифметическим крайних цифр: \( b = \frac{a+c}{2} \), или \( 2b = a+c \).

Проверим числа, начиная с 501.

Пусть остаток равен 3.

• Число имеет вид \( 8k + 3 \) и \( 5m + 3 \).
• Значит, число должно заканчиваться на 3 или 8 (для остатка 3 при делении на 5).
• Если \( c = 3 \): \( 2b = a+3 \). Так как \( a ∈ {5, 6, 7, 8, 9\} \), то \( a+3 \) будет 8, 9, 10, 11, 12. \( 2b \) должно быть чётным, значит \( a \) должно быть нечётным: \( a=5, 7, 9 \).
• Если \( a=5 \), \( 2b = 5+3 = 8 \), \( b=4 \). Получаем число 543. Проверим: \( 543 : 8 = 67 \) ост. 7. Не подходит.
• Если \( a=7 \), \( 2b = 7+3 = 10 \), \( b=5 \). Получаем число 753. Проверим: \( 753 : 8 = 94 \) ост. 1. \( 753 : 5 = 150 \) ост. 3. Не подходит.
• Если \( a=9 \), \( 2b = 9+3 = 12 \), \( b=6 \). Получаем число 963. Проверим: \( 963 : 8 = 120 \) ост. 3. \( 963 : 5 = 192 \) ост. 3. Подходит!
• Если \( c = 8 \): \( 2b = a+8 \). \( a \) должно быть чётным: \( a=6, 8 \).
• Если \( a=6 \), \( 2b = 6+8 = 14 \), \( b=7 \). Получаем число 678. Проверим: \( 678 : 8 = 84 \) ост. 6. \( 678 : 5 = 135 \) ост. 3. Не подходит.
• Если \( a=8 \), \( 2b = 8+8 = 16 \), \( b=8 \). Получаем число 888. Проверим: \( 888 : 8 = 111 \) ост. 0. Не подходит (остаток должен быть ненулевым).

Проверим остаток 1:

• Число заканчивается на 1 или 6.
• Если \( c=1 \): \( 2b = a+1 \). \( a \) должно быть нечётным: \( a=5, 7, 9 \).
• \( a=5 \) → \( 2b = 6 \) → \( b=3 \). Число 531. \( 531 : 8 = 66 \) ост. 3. \( 531 : 5 = 106 \) ост. 1. Не подходит.
• \( a=7 \) → \( 2b = 8 \) → \( b=4 \). Число 741. \( 741 : 8 = 92 \) ост. 5. \( 741 : 5 = 148 \) ост. 1. Не подходит.
• \( a=9 \) → \( 2b = 10 \) → \( b=5 \). Число 951. \( 951 : 8 = 118 \) ост. 7. \( 951 : 5 = 190 \) ост. 1. Не подходит.
• Если \( c=6 \): \( 2b = a+6 \). \( a \) должно быть чётным: \( a=6, 8 \).
• \( a=6 \) → \( 2b = 12 \) → \( b=6 \). Число 666. \( 666 : 8 = 83 \) ост. 2. \( 666 : 5 = 133 \) ост. 1. Не подходит.
• \( a=8 \) → \( 2b = 14 \) → \( b=7 \). Число 876. \( 876 : 8 = 109 \) ост. 4. \( 876 : 5 = 175 \) ост. 1. Не подходит.

Проверим остаток 2:

• Число заканчивается на 2 или 7.
• Если \( c=2 \): \( 2b = a+2 \). \( a \) должно быть чётным: \( a=6, 8 \).
• \( a=6 \) → \( 2b = 8 \) → \( b=4 \). Число 642. \( 642 : 8 = 80 \) ост. 2. \( 642 : 5 = 128 \) ост. 2. Подходит!

Мы нашли одно такое число: 642.

Проверим число 963: \( 963 : 8 = 120 \) ост. 3. \( 963 : 5 = 192 \) ост. 3. Средняя цифра 6. Крайние цифры 9 и 3. \( (9+3)/2 = 12/2 = 6 \). Число 963 также подходит.

Мы можем привести любое из этих чисел.

Ответ: 642