12. Ниже летел в стае на спине гуся. Мартин построил построение стаи, напоминающее треугольник. Впереди - 1 гусь, во втором ряду - 2 гуся, в третьем ряду - 3 гуся и так далее. Стая остановилась на ночлег. Он увидел, что расположение гусей на этот раз, напоминает огромный, состоящий из рядов, причём число гусей в каждом ряду равно числу рядов. Сколько гусей в стае?

Решение:

1. Сначала разберём условие о построении стаи в виде треугольника. В первом ряду 1 гусь, во втором — 2, в третьем — 3, и так далее. Общее число гусей в стае при таком построении — это сумма арифметической прогрессии.
2. Вторая часть условия описывает расположение гусей на ночлеге: «число гусей в каждом ряду равно числу рядов». Это означает, что стая построена в виде квадрата.
3. Нам нужно найти такое число \( n \), которое является одновременно суммой первых \( n \) натуральных чисел (треугольное число) и квадратом некоторого числа \( k \) (квадратное число). То есть, \( S_n = \frac{n(n+1)}{2} = k^2 \).
4. Перебираем значения \( n \) и ищем, когда \( \frac{n(n+1)}{2} \) является полным квадратом:
   • При \( n=1 \): \( \frac{1(1+1)}{2} = 1 = 1^2 \). В стае 1 гусь.
   • При \( n=8 \): \( \frac{8(8+1)}{2} = \frac{8 \times 9}{2} = 36 = 6^2 \). В стае 36 гусей.
   • При \( n=49 \): \( \frac{49(49+1)}{2} = \frac{49 \times 50}{2} = 49 \times 25 = (7 \times 5)^2 = 35^2 = 1225 \). В стае 1225 гусей.
5. В условии сказано: «Гусей и снег меняют ...». Это намёк на то, что количество гусей не должно быть слишком большим, но и не единичным. Из предложенных вариантов (1, 36, 1225) наиболее вероятным является 36, так как 1225 — это очень большая стая.

Ответ: 36 гусей.