12. Найти экстремумы функции: y =x²(x + 1)

Решение:

Для нахождения экстремумов функции \( y = x^2(x + 1) \) сначала раскроем скобки и найдём производную.

1. Раскроем скобки:

\( y = x^3 + x^2 \)

2. Найдём производную функции:

\( y' = (x^3 + x^2)' = 3x^2 + 2x \)

3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 3x^2 + 2x = 0 \)

\( x(3x + 2) = 0 \)

Отсюда \( x = 0 \) или \( 3x + 2 = 0 \) => \( x = -2/3 \).

4. Определим знаки производной на интервалах:

• При \( x < -2/3 \) (например, \( x = -1 \)): \( y' = 3(-1)^2 + 2(-1) = 3 - 2 = 1 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( -2/3 < x < 0 \) (например, \( x = -1/3 \)): \( y' = 3(-1/3)^2 + 2(-1/3) = 3(1/9) - 2/3 = 1/3 - 2/3 = -1/3 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 0 \) (например, \( x = 1 \)): \( y' = 3(1)^2 + 2(1) = 3 + 2 = 5 > 0 \). Функция возрастает.

5. Определим значения функции в критических точках:

• При \( x = -2/3 \): \( y = (-2/3)^2(-2/3 + 1) = (4/9)(1/3) = 4/27 \). Так как производная меняет знак с плюса на минус, это локальный максимум.
• При \( x = 0 \): \( y = (0)^2(0 + 1) = 0 \). Так как производная меняет знак с минуса на плюс, это локальный минимум.

Ответ: Локальный максимум функции находится в точке \( (-2/3, 4/27) \). Локальный минимум функции находится в точке \( (0, 0) \).