12. Найдите наибольшее значение функции y = √5 - 4x - x^2.

Решение:

Функция \( y = \sqrt{5 - 4x - x^2} \) определена, когда выражение под корнем неотрицательно: \( 5 - 4x - x^2 \ge 0 \).

Чтобы найти наибольшее значение функции \( y \), нужно найти наибольшее значение выражения под корнем, так как корень — возрастающая функция.

Рассмотрим параболу \( z = -x^2 - 4x + 5 \). Вершина параболы находится по формуле \( x_v = -\frac{b}{2a} \).

Здесь \( a = -1 \), \( b = -4 \).

\[ x_v = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-4}{-2} = -2 \]

Найдем значение \( z \) в вершине:

\[ z = -(-2)^2 - 4(-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 \]

Наибольшее значение выражения под корнем равно 9.

Следовательно, наибольшее значение функции \( y \) равно \( \sqrt{9} = 3 \).

Проверим область определения: \( 5 - 4x - x^2 = 9 \) при \( x = -2 \). Значение \( 5 - 4(-2) - (-2)^2 = 5 + 8 - 4 = 9 \), что больше или равно 0. Значит, \( x = -2 \) входит в область определения.

Ответ: 3.