12. Найдите допустимые значения переменной в выражении: а) \(\frac{5y-8}{11}\) б) \(\frac{25}{y-9}\) в) \(\frac{y^2+1}{y^2-2y}\) г) \(\frac{y-10}{y^2+3}\) д) \(\frac{y}{y-6}\) + \(\frac{15}{y+6}\) е) \(\frac{32}{y}\) - \(\frac{y+1}{y+7}\)

Привет! Давай разберемся с этими дробями. Допустимые значения переменной — это те значения, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Ведь на ноль делить нельзя!

а) \[ \frac{5y-8}{11} \]

Здесь знаменатель — это число 11. Оно никогда не равно нулю, поэтому любое значение y допустимо.

б) \[ \frac{25}{y-9} \]

Знаменатель: \[ y-9 \]

Чтобы знаменатель не был равен нулю, нужно: \[ y-9 ≠ 0 \] \[ y ≠ 9 \]

Значит, y может быть любым числом, кроме 9.

в) \[ \frac{y^2+1}{y^2-2y} \]

Знаменатель: \[ y^2-2y \]

Вынесем y за скобки: \[ y(y-2) \]

Чтобы знаменатель не был равен нулю, нужно: \[ y(y-2) ≠ 0 \] Это значит, что: \[ y ≠ 0 \] и \[ y-2 ≠ 0 → y ≠ 2 \]

Значит, y может быть любым числом, кроме 0 и 2.

г) \[ \frac{y-10}{y^2+3} \]

Знаменатель: \[ y^2+3 \]

Поскольку $$y^2$$ всегда больше или равно нулю ($$y^2 ≥ 0$$), то $$y^2+3$$ всегда будет больше трех ($$y^2+3 > 3$$). То есть знаменатель никогда не равен нулю.

Значит, любое значение y допустимо.

д) \[ \frac{y}{y-6} + \frac{15}{y+6} \]

Здесь два знаменателя: $$y-6$$ и $$y+6$$. Оба не должны быть равны нулю.

1. $$y-6 ≠ 0 → y ≠ 6$$

2. $$y+6 ≠ 0 → y ≠ -6$$

Значит, y может быть любым числом, кроме 6 и -6.

е) \[ \frac{32}{y} - \frac{y+1}{y+7} \]

Здесь два знаменателя: $$y$$ и $$y+7$$. Оба не должны быть равны нулю.

1. $$y ≠ 0$$

2. $$y+7 ≠ 0 → y ≠ -7$$

Значит, y может быть любым числом, кроме 0 и -7.

Итог:

• а) Все числа.
• б) Все числа, кроме 9.
• в) Все числа, кроме 0 и 2.
• г) Все числа.
• д) Все числа, кроме 6 и -6.
• е) Все числа, кроме 0 и -7.