12. Моторная лодка прошла против течения реки 140 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — собственная скорость лодки (км/ч), \( u = 4 \) км/ч — скорость течения реки.

Скорость лодки по течению: \( v + u = v + 4 \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v - u = v - 4 \) км/ч.

Время в пути против течения: \( t_{против} = \frac{140}{v - 4} \) часа.

Время в пути по течению: \( t_{по} = \frac{140}{v + 4} \) часа.

По условию, на обратный путь (по течению) затрачено на 2 часа меньше, чем против течения:

\( t_{по} = t_{против} - 2 \)

\( \frac{140}{v + 4} = \frac{140}{v - 4} - 2 \)

Умножим обе части уравнения на \( (v + 4)(v - 4) \) (при условии \( v \neq 4 \) и \( v \neq -4 \), так как скорость не может быть отрицательной, \( v \neq 4 \)):

\( 140(v - 4) = 140(v + 4) - 2(v + 4)(v - 4) \)

\( 140v - 560 = 140v + 560 - 2(v^2 - 16) \)

\( -560 = 560 - 2v^2 + 32 \)

\( -560 = 592 - 2v^2 \)

\( 2v^2 = 592 + 560 \)

\( 2v^2 = 1152 \)

\( v^2 = \frac{1152}{2} \)

\( v^2 = 576 \)

\( v = \sqrt{576} = 24 \) (так как \( v > 0 \)).

Проверим условие \( v \neq 4 \): \( 24 \neq 4 \), условие выполнено.

Ответ: 24 км/ч