12. m || n

Решение:

Для определения параллельности прямых \(m\) и \(n\) рассмотрим секущую \(k\). На рисунке отмечены равные отрезки.

1. Угол, образованный пересечением \(k\) и \(m\), и угол, образованный пересечением \(k\) и \(n\), являются соответственными.
2. Угол \(\angle PKQ\) (где \(Q\) - точка на \(k\) выше \(P\)) и угол \(\angle QNS\) (где \(S\) - точка на \(k\) ниже \(N\)) являются вертикальными, поэтому равны.
3. На рисунке показано, что отрезки \(PK\) и \(NS\) равны, а также отрезки \(KP\) и \(SN\) отмечены одинаковыми штрихами, что указывает на их равенство.
4. Угол \(\angle KPS\) и угол \(\angle N S P\) равны как накрест лежащие для треугольников \(\triangle KPS\) и \(\triangle NPS\).
5. Если \(PK = NS\) и \(PS\) - общая сторона, а \(\angle KPS = \angle NSP\), то треугольники \(\triangle KPS\) и \(\triangle NSP\) равны по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними).
6. Следовательно, \(\angle PKS = \angle SNP\) как соответственные углы.
7. Так как соответственные углы равны, то прямые \(m\) и \(n\) параллельны.

Ответ: \(m\) || \(n\).