12. Две стороны треугольника равны 5 см и 21 см, а угол между ними 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Решение:

1. Нахождение третьей стороны (по теореме косинусов):
   • Пусть стороны равны a = 5 см, b = 21 см, а угол между ними C = 60°.
   • Третья сторона c находится по теореме косинусов: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \).
   • \( c^2 = 5^2 + 21^2 - 2 \times 5 \times 21 \times \cos(60°) \).
   • \( c^2 = 25 + 441 - 2 \times 5 \times 21 \times \frac{1}{2} \).
   • \( c^2 = 466 - 105 \).
   • \( c^2 = 361 \).
   • \( c = \sqrt{361} = 19 \) см.
2. Нахождение площади треугольника:
   • Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними: \( S = \frac{1}{2}ab \sin(C) \).
   • \( S = \frac{1}{2} \times 5 \times 21 \times \sin(60°) \).
   • \( S = \frac{1}{2} \times 105 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \).
   • \( S = \frac{105\sqrt{3}}{4} \) см².

Ответ: Третья сторона равна 19 см, площадь равна \( \frac{105\sqrt{3}}{4} \) см².