12. Две стороны треугольника равны 10√3 см и 20 см, а угол между ними 30°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Решение:

Привет! Давай найдем третью сторону и площадь этого треугольника. У нас есть две стороны и угол между ними. Это идеальный случай для использования теоремы косинусов и стандартной формулы площади.

1. Находим третью сторону (по теореме косинусов):

   Пусть стороны треугольника a = 10√3 см, b = 20 см, а угол между ними C = 30°. Третью сторону, обозначим её c, найдем по теореме косинусов:

   \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \times ackgroundColor{yellow}{\text{cos}}(C) \]

   Подставляем значения:

   \[ c^2 = (10√3)^2 + (20)^2 - 2 \times (10√3) \times 20 \times ackgroundColor{yellow}{\text{cos}}(30^\text{o}) \]

   \[ c^2 = (100 \times 3) + 400 - 400√3 \times \frac{√3}{2} \]

   \[ c^2 = 300 + 400 - 400√3 \times \frac{√3}{2} \]

   \[ c^2 = 700 - 200 \times 3 \]

   \[ c^2 = 700 - 600 \]

   \[ c^2 = 100 \]

   \[ c = √100 \]

   \[ c = 10 \text{ см} \]

2. Находим площадь треугольника:

   Площадь треугольника можно найти по формуле:

   \[ S = \frac{1}{2}ab \times ackgroundColor{yellow}{\text{sin}}(C) \]

   Подставляем значения:

   \[ S = \frac{1}{2} \times (10√3) \times 20 \times ackgroundColor{yellow}{\text{sin}}(30^\text{o}) \]

   \[ S = \frac{1}{2} \times 200√3 \times \frac{1}{2} \]

   \[ S = 100√3 \times \frac{1}{2} \]

   \[ S = 50√3 \text{ см}^2 \]

Ответ: Третья сторона равна 10 см, площадь треугольника равна 50√3 см².