12. Дано: ∠AKO = ∠MEO, ∠OKE = ∠OEK. Доказать: ΔEAK = ΔKME.

Рассмотрим треугольники EAK и KME. Точки A, O, E лежат на одной прямой, а точки K, O, M — на другой.

1. Так как лучи EA и EO совпадают, а лучи KM и KO совпадают, то ∠AEK = ∠OEK и ∠MKE = ∠OKE. По условию ∠OKE = ∠OEK, значит ∠AEK = ∠MKE.
2. Угол AKE состоит из углов AKO и OKE: ∠AKE = ∠AKO + ∠OKE.
3. Угол KEM состоит из углов MEO и OEK: ∠KEM = ∠MEO + ∠OEK.
4. По условию ∠AKO = ∠MEO и ∠OKE = ∠OEK, поэтому ∠AKE = ∠KEM.
5. Сторона EK — общая: EK = KE.

Таким образом, в треугольниках EAK и KME равны сторона EK и два прилежащих к ней угла: ∠AEK = ∠MKE, ∠AKE = ∠KEM.

Ответ: ΔEAK = ΔKME по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).