12. 2 cos^2 x + 2 sin 2x = 3

Решение:

Для решения данного тригонометрического уравнения воспользуемся формулой двойного угла для синуса: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \). Также применим основное тригонометрическое тождество: \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \), из которого следует, что \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \).

1. Подставим формулу двойного угла в уравнение:

\( 2 \cos^2 x + 2(2 \sin x \cos x) = 3 \)

\( 2 \cos^2 x + 4 \sin x \cos x = 3 \)

2. Заменим \( \cos^2 x \) через \( 1 - \sin^2 x \) и \( 3 \) через \( 3( \cos^2 x + \sin^2 x) \):

\( 2(1 - \sin^2 x) + 4 \sin x \cos x = 3( \cos^2 x + \sin^2 x) \)

\( 2 - 2\sin^2 x + 4 \sin x \cos x = 3\cos^2 x + 3\sin^2 x \)

3. Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить однородное уравнение:

\( 2 - 2\sin^2 x + 4 \sin x \cos x - 3\cos^2 x - 3\sin^2 x = 0 \)

\( 2 + 4 \sin x \cos x - 5\sin^2 x - 3\cos^2 x = 0 \)

4. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \) (предполагая, что \( \cos x \neq 0 \)). Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), тогда \( \sin x = \pm 1 \) и \( \sin 2x = 0 \). Подстановка в исходное уравнение: \( 2(0)^2 + 2(0) = 0 \neq 3 \), значит \( \cos x \neq 0 \).

\( \frac{2}{\cos^2 x} + 4 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 5\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 3\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \)

\( 2\sec^2 x + 4 \tan x - 5\tan^2 x - 3 = 0 \)

5. Используем формулу \( \sec^2 x = 1 + \tan^2 x \) и заменим \( t = \tan x \):

\( 2(1 + \tan^2 x) + 4 \tan x - 5\tan^2 x - 3 = 0 \)

\( 2 + 2\tan^2 x + 4 \tan x - 5\tan^2 x - 3 = 0 \)

\( -3\tan^2 x + 4 \tan x - 1 = 0 \)

\( 3\tan^2 x - 4 \tan x + 1 = 0 \)

6. Решим квадратное уравнение относительно \( \tan x \). Пусть \( t = \tan x \):

\( 3t^2 - 4t + 1 = 0 \)

Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \).

Корни: \( t_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1 \) и \( t_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).

7. Теперь найдём \( x \) из \( \tan x = 1 \) и \( \tan x = \frac{1}{3} \):

\( \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)

\( \tan x = \frac{1}{3} \implies x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \) и \( x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).