12.15. y = 16 / (x^2(x-4))

Решение:

Задана функция \( y = \frac{16}{x^2(x-4)} \).

Для построения графика или анализа этой функции, нам нужно учесть:

• Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно, \( x^2(x-4) \neq 0 \). Это означает, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq 4 \).
• Вертикальные асимптоты: \( x = 0 \) (так как \( x^2 \) обращается в ноль) и \( x = 4 \).
• Горизонтальные или наклонные асимптоты: Степень числителя (0) меньше степени знаменателя (3), поэтому горизонтальная асимптота \( y = 0 \).
• Поведение функции вблизи асимптот:
  • При \( x \to 0^+ \) или \( x \to 0^- \), \( x^2 \to 0^+ \) и \( x-4 \to -4 \), поэтому \( y \to \frac{16}{0^+ \cdot (-4)} \to -\infty \).
  • При \( x \to 4^+ \), \( x^2 \to 16 \) и \( x-4 \to 0^+ \), поэтому \( y \to \frac{16}{16 \cdot 0^+} \to +\infty \).
  • При \( x \to 4^- \), \( x^2 \to 16 \) и \( x-4 \to 0^- \), поэтому \( y \to \frac{16}{16 \cdot 0^-} \to -\infty \).

Для полного анализа (например, нахождения локальных экстремумов, точек перегиба) требуется вычисление производных.

Ответ: Функция \( y = \frac{16}{x^2(x-4)} \). Вертикальные асимптоты: \( x = 0 \) и \( x = 4 \). Горизонтальная асимптота: \( y = 0 \).