1183. Постройте график функции g(x) = { x^-1, если x >= 1/2; x + 1.5, если x < 1/2. Найдите: a) g(-2), g(0), g(1/2), g(1), g(-2,5); б) значения х, при которых g(x) = 0; g(x) = -2; g(x) = 0,5.

Решение:

Дано: Функция задана кусочно:

• \[ g(x) = \begin{cases} x^{-1}, & \text{если } x \ge \frac{1}{2} \\ x + 1.5, & \text{если } x < \frac{1}{2} \end{cases} \]

а) Вычисление значений функции:

1. g(-2): Поскольку -2 < 1/2, используем вторую формулу:

   \[ g(-2) = -2 + 1.5 = -0.5 \]

2. g(0): Поскольку 0 < 1/2, используем вторую формулу:

   \[ g(0) = 0 + 1.5 = 1.5 \]

3. g(1/2): Поскольку 1/2 >= 1/2, используем первую формулу:

   \[ g(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^{-1} = 2 \]

4. g(1): Поскольку 1 >= 1/2, используем первую формулу:

   \[ g(1) = 1^{-1} = 1 \]

5. g(-2,5): Поскольку -2.5 < 1/2, используем вторую формулу:

   \[ g(-2.5) = -2.5 + 1.5 = -1 \]

б) Нахождение значений x:

1. g(x) = 0:
   • Если $$x \ge \frac{1}{2}$$, то $$x^{-1} = 0$$. Это уравнение не имеет решений, так как $$x^{-1}$$ никогда не равно 0.
   • Если $$x < \frac{1}{2}$$, то $$x + 1.5 = 0$$. Решение: $$x = -1.5$$. Это значение удовлетворяет условию $$x < \frac{1}{2}$$.
2. g(x) = -2:
   • Если $$x \ge \frac{1}{2}$$, то $$x^{-1} = -2$$. Решение: $$x = -1/2$$. Это значение НЕ удовлетворяет условию $$x \ge \frac{1}{2}$$.
   • Если $$x < \frac{1}{2}$$, то $$x + 1.5 = -2$$. Решение: $$x = -3.5$$. Это значение удовлетворяет условию $$x < \frac{1}{2}$$.
3. g(x) = 0.5:
   • Если $$x \ge \frac{1}{2}$$, то $$x^{-1} = 0.5$$. Решение: $$x = 2$$. Это значение удовлетворяет условию $$x \ge \frac{1}{2}$$.
   • Если $$x < \frac{1}{2}$$, то $$x + 1.5 = 0.5$$. Решение: $$x = -1$$. Это значение удовлетворяет условию $$x < \frac{1}{2}$$.

График функции:

Функция состоит из двух частей:

• $$y = x^{-1}$$ (гипербола) для $$x \ge \frac{1}{2}$$. Начинается с точки $$(\frac{1}{2}, 2)$$.
• $$y = x + 1.5$$ (прямая линия) для $$x < \frac{1}{2}$$. Начинается от точки, приближающейся к $$(\frac{1}{2}, 2)$$, но не включая её.

Ответ:

• a) $$g(-2) = -0.5$$, $$g(0) = 1.5$$, $$g(\frac{1}{2}) = 2$$, $$g(1) = 1$$, $$g(-2.5) = -1$$.
• б) $$g(x) = 0$$ при $$x = -1.5$$; $$g(x) = -2$$ при $$x = -3.5$$; $$g(x) = 0.5$$ при $$x = 2$$ и $$x = -1$$.