1150 Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол.

Решение:

Дано: Угол \( AOB \). При движении он отображается на угол \( A_1O_1B_1 \).

Доказать: \( \angle AOB = \angle A_1O_1B_1 \).

Доказательство:

1. При движении сохраняются расстояния. Это значит, что длина отрезков остается прежней.
2. По условию, точки \( A, O, B \) отображаются в точки \( A_1, O_1, B_1 \) соответственно.
3. Следовательно, длины соответствующих отрезков равны: \( OA = O_1A_1 \) и \( OB = O_1B_1 \).
4. Рассмотрим треугольники \( \triangle AOB \) и \( \triangle A_1O_1B_1 \).
5. Если угол \( AOB \) неразвёрнутый, то у нас есть два треугольника, у которых равны три стороны (по теореме о трех сторонах, если \( OA=O_1A_1 \), \( OB=O_1B_1 \) и \( AB=A_1B_1 \) - последнее следует из сохранения расстояний при движении).
6. Поэтому, по первому признаку равенства треугольников, \( \triangle AOB = \triangle A_1O_1B_1 \).
7. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: \( \angle AOB = \angle A_1O_1B_1 \).
8. Если угол \( AOB \) развёрнутый (то есть равен \( 180^\circ \)), то угол \( A_1O_1B_1 \) также будет развёрнутым (это можно доказать отдельно, показав, что точки \( A_1, O_1, B_1 \) лежат на одной прямой).
9. Следовательно, в обоих случаях (неразвёрнутый и развёрнутый угол) \( \angle AOB = \angle A_1O_1B_1 \).

Вывод: Движение сохраняет углы, поэтому отображаемый угол равен исходному.

Ответ: При движении угол отображается на равный ему угол.