1129. Экран находится на расстоянии l от горящей свечи. Помещая между свечой и экраном линзу, можно получить резкое изображение свечи на экране при двух положениях линзы, удаленных друг от друга на расстояние а. Показать, что в этом случае для нахождения главного фокусного расстояния линзы можно пользоваться формулой $$F = \frac{l^2 - a^2}{4l}$$

Объяснение

Эта задача связана с оптикой и формулой тонкой линзы. Формула тонкой линзы связывает расстояние от предмета до линзы ($$d_o$$), расстояние от изображения до линзы ($$d_i$$) и фокусное расстояние линзы ($$F$$):

• $$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

В данной задаче:

• Расстояние от свечи (предмета) до экрана равно l.
• Линза помещается между свечой и экраном.
• Существует два положения линзы, при которых получается резкое изображение. Пусть в одном положении расстояние от предмета до линзы равно $$d_1$$, а расстояние от изображения до линзы равно $$d_2$$.
• В другом положении эти расстояния меняются местами: расстояние от предмета до линзы равно $$d_2$$, а расстояние от изображения до линзы равно $$d_1$$.
• Разница между положениями линз равна a, то есть $$|d_1 - d_2| = a$$.
• Сумма расстояний от предмета до изображения (через линзу) остается постоянной и равной расстоянию между свечой и экраном: $$d_1 + d_2 = l$$.

Из второго уравнения выразим $$d_2$$:

• $$d_2 = l - d_1$$

Подставим это в первое уравнение ($$|d_1 - d_2| = a$$):

• $$|d_1 - (l - d_1)| = a$$
• $$|2d_1 - l| = a$$

Это дает два случая:

1. $$2d_1 - l = a \implies 2d_1 = l + a \implies d_1 = \frac{l + a}{2}$$
2. $$2d_1 - l = -a \implies 2d_1 = l - a \implies d_1 = \frac{l - a}{2}$$

Если $$d_1 = \frac{l + a}{2}$$, то $$d_2 = l - \frac{l + a}{2} = \frac{2l - l - a}{2} = \frac{l - a}{2}$$.

Если $$d_1 = \frac{l - a}{2}$$, то $$d_2 = l - \frac{l - a}{2} = \frac{2l - l + a}{2} = \frac{l + a}{2}$$.

Таким образом, в одном положении линзы расстояние от предмета до нее равно $$rac{l+a}{2}$$, а в другом — $$rac{l-a}{2}$$.

Теперь подставим одно из этих значений (например, $$d_1 = \frac{l+a}{2}$$) и соответствующее ему расстояние изображения ($$d_2 = \frac{l-a}{2}$$) в формулу тонкой линзы:

• $$\frac{1}{F} = \frac{1}{\frac{l+a}{2}} + \frac{1}{\frac{l-a}{2}}$$
• $$\frac{1}{F} = \frac{2}{l+a} + \frac{2}{l-a}$$
• $$\frac{1}{F} = \frac{2(l-a) + 2(l+a)}{(l+a)(l-a)}$$
• $$\frac{1}{F} = \frac{2l - 2a + 2l + 2a}{l^2 - a^2}$$
• $$\frac{1}{F} = \frac{4l}{l^2 - a^2}$$

Перевернем обе стороны уравнения, чтобы найти F:

• $$F = \frac{l^2 - a^2}{4l}$$

Мы получили требуемую формулу.

Вывод: Формула $$F = \frac{l^2 - a^2}{4l}$$ корректно выводится из основного уравнения тонкой линзы при заданных условиях.