1125. Теплоход проходит за 3 ч по течению и 2 ч против течения 240 км. Этот же теплоход за 3 ч против течения проходит на 35 км больше, чем за 2 ч по течению. Найдите скорость тепло- хода против течения и его скорость по течению.

Решение:

• Обозначим скорость теплохода в стоячей воде как $$v_т$$ км/ч, а скорость течения реки как $$v_п$$ км/ч.
• Скорость теплохода по течению: $$v_т + v_п$$.
• Скорость теплохода против течения: $$v_т - v_п$$.
• Условие 1: Теплоход проходит за 3 часа по течению и 2 часа против течения 240 км.
• Расстояние по течению: $$3(v_т + v_п)$$.
• Расстояние против течения: $$2(v_т - v_п)$$.
• Суммарное расстояние: $$3(v_т + v_п) + 2(v_т - v_п) = 240$$.
• Раскроем скобки: $$3v_т + 3v_п + 2v_т - 2v_п = 240$$.
• Приведем подобные члены: $$5v_т + v_п = 240$$. (Уравнение 1)
• Условие 2: Этот же теплоход за 3 часа против течения проходит на 35 км больше, чем за 2 часа по течению.
• Расстояние за 3 часа против течения: $$3(v_т - v_п)$$.
• Расстояние за 2 часа по течению: $$2(v_т + v_п)$$.
• Разница расстояний: $$3(v_т - v_п) = 2(v_т + v_п) + 35$$.
• Раскроем скобки: $$3v_т - 3v_п = 2v_т + 2v_п + 35$$.
• Перенесем члены с $$v_т$$ и $$v_п$$ в левую часть: $$3v_т - 2v_т - 3v_п - 2v_п = 35$$.
• Приведем подобные члены: $$v_т - 5v_п = 35$$. (Уравнение 2)
• Решим систему уравнений:
• Из Уравнения 2 выразим $$v_т$$: $$v_т = 35 + 5v_п$$.
• Подставим это выражение для $$v_т$$ в Уравнение 1: $$5(35 + 5v_п) + v_п = 240$$.
• Раскроем скобки: $$175 + 25v_п + v_п = 240$$.
• Приведем подобные члены: $$26v_п = 240 - 175$$.
• $$26v_п = 65$$.
• $$v_п = rac{65}{26} = rac{5}{2} = 2.5$$ км/ч.
• Теперь найдем $$v_т$$, подставив значение $$v_п$$ в выражение для $$v_т$$: $$v_т = 35 + 5(2.5)$$.
• $$v_т = 35 + 12.5 = 47.5$$ км/ч.

Проверка:

• Скорость по течению: $$47.5 + 2.5 = 50$$ км/ч.
• Скорость против течения: $$47.5 - 2.5 = 45$$ км/ч.
• Расстояние по течению за 3 часа: $$3 imes 50 = 150$$ км.
• Расстояние против течения за 2 часа: $$2 imes 45 = 90$$ км.
• Сумма расстояний: $$150 + 90 = 240$$ км. (Первое условие выполнено).
• Расстояние против течения за 3 часа: $$3 imes 45 = 135$$ км.
• Расстояние по течению за 2 часа: $$2 imes 50 = 100$$ км.
• Разница расстояний: $$135 - 100 = 35$$ км. (Второе условие выполнено).

Ответ: Скорость теплохода против течения 45 км/ч, его скорость по течению 50 км/ч.