112. Постройте график функции и опишите её свойства: а) y = −3x + 1; б) y = 5 + 2x; в) y = −3/x; г) y = 1/(2x); д) y = −x²; е) y = −x³.

а) \(y=-3x+1\)

Это линейная функция. Для построения удобно взять точки: \((0;1)\), \((1;-2)\).

• Область определения: \(\mathbb{R}\).
• Область значений: \(\mathbb{R}\).
• Нуль функции: \(x=\frac13\).
• Возрастает или убывает: убывает на всей \(\mathbb{R}\), так как угловой коэффициент \(-3<0\).
• Пересекает ось \(Oy\) в точке \((0;1)\).

б) \(y=2x+5\)

Точки для построения: \((0;5)\), \((-2;1)\).

• Область определения: \(\mathbb{R}\).
• Область значений: \(\mathbb{R}\).
• Нуль функции: \(x=-\frac52\).
• Возрастает на всей \(\mathbb{R}\), так как угловой коэффициент \(2>0\).
• Пересекает ось \(Oy\) в точке \((0;5)\).

в) \(y=-\frac3x\)

Точки для построения: \((1;-3)\), \((3;-1)\), \((-1;3)\), \((-3;1)\). График — гипербола.

• Область определения: \(x\ne0\).
• Область значений: \(y\ne0\).
• Нулей нет.
• Убывает на промежутках \((−\infty;0)\) и \((0;+\infty)\).
• Асимптоты: \(x=0\) и \(y=0\).
• Функция нечётная; ветви расположены во II и IV координатных четвертях.

г) \(y=\frac1{2x}\)

Точки для построения: \((1;0.5)\), \((2;0.25)\), \((-1;-0.5)\), \((-2;-0.25)\). График — гипербола.

• Область определения: \(x\ne0\).
• Область значений: \(y\ne0\).
• Нулей нет.
• Убывает на промежутках \((−\infty;0)\) и \((0;+\infty)\).
• Асимптоты: \(x=0\) и \(y=0\).
• Функция нечётная; ветви расположены в I и III координатных четвертях.

д) \(y=-x^2\)

Точки для построения: \((0;0)\), \((1;-1)\), \((-1;-1)\), \((2;-4)\), \((-2;-4)\). График — парабола.

• Область определения: \(\mathbb{R}\).
• Область значений: \((−\infty;0]\).
• Нуль функции: \(x=0\).
• Возрастает на \((−\infty;0]\) и убывает на \([0;+\infty)\).
• Наибольшее значение: \(0\).
• Функция чётная; ось симметрии — \(Oy\).

е) \(y=-x^3\)

Точки для построения: \((-2;8)\), \((-1;1)\), \((0;0)\), \((1;-1)\), \((2;-8)\).

• Область определения: \(\mathbb{R}\).
• Область значений: \(\mathbb{R}\).
• Нуль функции: \(x=0\).
• Строго убывает на всей \(\mathbb{R}\).
• Функция нечётная; график симметричен относительно начала координат.