110. Точки A и C лежат по одну сторону от прямой a. Перпендикуляры AB и CD к прямой a равны. а) Докажите, что ∠ABD = ∠CDB; б) найдите ∠ABC, если ∠ADB = 44°.

а) Доказательство:
Так как AB и CD - перпендикуляры к прямой a, то AB || CD. Рассмотрим четырехугольник ABDC. Так как AB = CD и AB || CD, то это параллелограмм. Так как углы при основаниях перпендикуляры, четырехугольник ABDC - прямоугольник. Следовательно, AD и BC - диагонали прямоугольника.
У прямоугольника диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам, следовательно, AD = BC. Рассмотрим треугольники ABD и CDB. У них сторона BD - общая, AB = CD (по условию) и AD = BC (по доказанному). Следовательно, треугольники ABD и CDB равны по трем сторонам (III признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ABD = ∠CDB.
б) Найдем ∠ABC:
∠ABD = ∠CDB, так как ABCD - прямоугольник. Сумма углов треугольника ABD равна 180°. Тогда ∠BAD = 90°, ∠ADB = 44°, значит ∠ABD = 180° - 90° - 44° = 46°. Следовательно, ∠CDB = 46°.
∠ABC = ∠ABD + ∠DBC. Так как ABCD - прямоугольник, то ∠DBC = 90° - ∠CDB = 90° - 46° = 44°. Тогда ∠ABC = 46° + 44° = 90°.
Ответ: ∠ABC = 90°.