11. Вычислить первую космическую скорость для Меркурия, если радиус Меркурия 2420 км, а ускорение свободного падения тел на Меркурии 3,72 м/с².

Дано:

• $$R_{Меркурия} = 2420$$ км $$= 2420 \times 10^3$$ м $$= 2,42 \times 10^6$$ м
• $$g_{Меркурия} = 3,72$$ м/с²

Найти: $$v_1$$ (первая космическая скорость)

Решение:

Первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую нужно придать телу на поверхности планеты, чтобы оно двигалось по круговой орбите вокруг нее.

Формула для первой космической скорости:

\[ v_1 = \sqrt{gR} \]

где $$g$$ — ускорение свободного падения на поверхности планеты, $$R$$ — радиус планеты.

Подставляем значения:

\[ v_1 = \sqrt{3,72 \text{ м/с}^2 \times 2,42 \times 10^6 \text{ м}} \]

\[ v_1 = \sqrt{9,0024 \times 10^6 \text{ м}^2/\text{с}^2} \]

\[ v_1 = \sqrt{9,0024} \times \sqrt{10^6} \text{ м/с} \]

\[ v_1 \approx 3,0004 \times 10^3 \text{ м/с} \]

Переведем в км/с:

\[ v_1 \approx 3,00 \text{ км/с} \]

Ответ: 3,00 км/с