Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика11. В треугольнике АВС АС = BC, AB = 7, tg BAC = \(\frac{4\sqrt{33}}{33}\). Найдите высоту АН.
Ответ:
Решение:
Так как \( AC = BC \), то треугольник ABC — равнобедренный.
Пусть \( ∠ BAC = \alpha \). Тогда \( ∠ ABC = \alpha \).
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой, и биссектрисой. Но здесь у нас высота АН, значит, АН перпендикулярно BC.
В прямоугольном треугольнике ABH:
\( ∠ BAH = 90^\circ \).
Нам дано \( ∠ BAC = ∠ ABC \) (по условию \( AC = BC \)), что означает, что \( ∠ ABC = ∠ BAC \).
Пусть \( ∠ BAC = ∠ ABC = ∠ (ABC) \).
В прямоугольном треугольнике ABH, \( ∠ AHB = 90^\circ \).
\( ∠ ABH \) - это один из углов при основании равнобедренного треугольника, значит \( ∠ ABH = ∠ BAC \).
В прямоугольном треугольнике ABH:
\( \tan(∠ ABH) = \frac{AH}{BH} \)
\( \tan(∠ BAC) = \frac{4√33}{33} \).
В равнобедренном треугольнике \( ∠ BAC = ∠ ABC \), значит \( ∠ ABH = ∠ BAC = ∠ ABC \).
В прямоугольном треугольнике ABH:
\( \tan(∠ BAC) = \frac{BH}{AH} \) - это неверно, так как \( ∠ BAC \) не является углом прямоугольного треугольника ABH. Угол, которым мы можем воспользоваться, это \( ∠ ABH \), который равен \( ∠ BAC \).
В треугольнике ABC, AC = BC. Пусть \( ∠ BAC = ∠ ABC = α \).
В прямоугольном треугольнике AHC, \( ∠ AHC = 90^\circ \).
\( \tan(∠ CAH) = \frac{CH}{AH} \).
В прямоугольном треугольнике AHB, \( ∠ AHB = 90^\circ \).
\( \tan(∠ BAH) = \frac{BH}{AH} \).
\( \tan(∠ ABH) = \frac{AH}{BH} \).
По условию \( AC = BC \), значит \( ∠ BAC = ∠ ABC \). Пусть этот угол равен \( α \).
В прямоугольном треугольнике AHB, \( ∠ AHB = 90^\circ \). Угол \( ∠ ABH = α \).
\( \tan(∠ ABH) = \frac{AH}{BH} \) => \( \tan(α) = \frac{AH}{BH} \).
Также \( \tan(∠ BAC) = \frac{4√33}{33} \).
Из \( AC = BC \) следует, что \( ∠ BAC = ∠ ABC \). Значит, \( α = ∠ BAC = ∠ ABC \).
В прямоугольном треугольнике AHB, \( ∠ AHB = 90^\circ \).
\( \tan(∠ ABH) = \frac{AH}{BH} \).
\( \tan(∠ BAC) = \frac{4√33}{33} \).
Из \( AC = BC \) следует \( ∠ BAC = ∠ ABC \). Пусть \( ∠ BAC = α \).
В прямоугольном треугольнике AHB: \( \tan(∠ ABH) = \frac{AH}{BH} \) и \( ∠ ABH = α \).
Из \( AC = BC \) следует, что \( ∠ BAC = ∠ ABC \). Пусть \( ∠ BAC = α \). Тогда \( ∠ ABH = α \).
В прямоугольном треугольнике AHB, \( \tan(∠ ABH) = \frac{AH}{BH} \) => \( \tan(α) = \frac{AH}{BH} \).
Мы знаем \( \tan(∠ BAC) = \frac{4√33}{33} \). И \( ∠ BAC = α \).
Поэтому \( \frac{AH}{BH} = \frac{4√33}{33} \).
В треугольнике ABC, \( AB = 7 \).
В прямоугольном треугольнике AHB:
\( AH^2 + BH^2 = AB^2 \)
\( AH^2 + BH^2 = 7^2 = 49 \).
Из \( \frac{AH}{BH} = \frac{4√33}{33} \) => \( AH = \frac{4√33}{33} BH \).
Подставляем в уравнение \( AH^2 + BH^2 = 49 \):
\( \big(\frac{4√33}{33} BH\big)^2 + BH^2 = 49 \)
\( \frac{16 \times 33}{33^2} BH^2 + BH^2 = 49 \)
\( \frac{16}{33} BH^2 + BH^2 = 49 \)
\( BH^2 \big(\frac{16}{33} + 1\big) = 49 \)
\( BH^2 \big(\frac{16+33}{33}\big) = 49 \)
\( BH^2 \frac{49}{33} = 49 \)
\( BH^2 = 33 \)
\( BH = √33 \).
Теперь найдём AH:
\( AH = \frac{4√33}{33} BH = \frac{4√33}{33} √33 = \frac{4 \times 33}{33} = 4 \).
Ответ: AH = 4
