11. Цилиндр, объём которого равен 114, описан около шара. Найдите объём шара.

Решение:

Когда цилиндр описан около шара, это значит, что высота цилиндра равна диаметру шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара.

Обозначим радиус шара как \( r \). Тогда:

• Высота цилиндра \( h = 2r \).
• Радиус основания цилиндра \( R = r \).

Объём цилиндра вычисляется по формуле \( V_{цилиндра} = \pi R^2 h \). Подставим наши значения:

\[ V_{цилиндра} = \pi \cdot r^2 \cdot (2r) = 2 \pi r^3 \]

Объём шара вычисляется по формуле \( V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3 \).

Нам дан объём цилиндра: \( V_{цилиндра} = 114 \).

Свяжем объёмы:

• Из объёма цилиндра: \( 2 \pi r^3 = 114 \).
• Отсюда выразим \( \pi r^3 = \frac{114}{2} = 57 \).

Теперь найдём объём шара:

\[ V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \cdot 57 \]

Вычислим:

\[ V_{шара} = 4 \cdot \frac{57}{3} = 4 \cdot 19 = 76 \]

Ответ: Объём шара равен 76.