11. Точка D на стороне АВ треугольника АВС выбрана так, что AD = АС. Известно, что ∠CAB=86° и ∠ACB=71°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• Треугольник АВС.
• Точка D на стороне АВ.
• AD = АС.
• ∠CAB = 86°.
• ∠ACB = 71°.

Найти: ∠DCB.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ADC. Поскольку AD = АС, треугольник ADC является равнобедренным.
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием в треугольнике ADC является сторона CD, а углами при основании являются ∠ADC и ∠ACD.
3. Найдем ∠ADC. Угол ∠ADC является внешним углом треугольника BCD. Однако, нам нужно найти ∠DCB, поэтому нам понадобится ∠ACD.
4. В треугольнике ADC, ∠CAD = ∠CAB = 86°. (Так как точка D лежит на стороне AB).
5. Найдем ∠ACD. Сумма углов в треугольнике ADC равна 180°.
6. ∠ADC + ∠ACD + ∠CAD = 180°
7. Углы при основании равнобедренного треугольника ADC равны. Но ∠CAD - это угол при вершине A. Значит, углы при основании CD будут ∠ADC и ∠ACD.
8. Ошибка в рассуждении. AD = AC, значит, углы при основании CD равны: ∠ADC = ∠ACD.
9. Но ∠CAD = 86°.
10. Сумма углов в треугольнике ADC: ∠ADC + ∠ACD + ∠CAD = 180°.
11. 2 * ∠ACD + 86° = 180°.
12. 2 * ∠ACD = 180° - 86° = 94°.
13. ∠ACD = 94° / 2 = 47°.
14. Теперь найдем ∠DCB. Угол ∠ACB = 71°. Угол ∠ACB состоит из двух углов: ∠ACD и ∠DCB.
15. ∠ACB = ∠ACD + ∠DCB
16. 71° = 47° + ∠DCB
17. ∠DCB = 71° - 47° = 24°.

Проверка:

В треугольнике ABC:

∠A = 86°

∠ACB = 71°

∠ABC = 180° - 86° - 71° = 180° - 157° = 23°.

В треугольнике BCD:

∠CBD = ∠ABC = 23°.

∠BCD = 24°.

∠BDC = 180° - ∠ADC. Так как ∠ADC — угол в треугольнике ADC, мы нашли, что ∠ADC = 47°.

∠BDC = 180° - 47° = 133°.

Сумма углов в треугольнике BCD:

∠CBD + ∠BCD + ∠BDC = 23° + 24° + 133° = 47° + 133° = 180°. Все сходится.

Ответ: 24