11. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что \(\angle\) CAB=86^{\(\circ\)} и \(\angle\) ACB=71^{\(\circ\)}. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В треугольнике ABC: \( \angle CAB = 86^{\circ} \), \( \angle ACB = 71^{\circ} \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).

1. Найдём \( \angle ABC \): \( \angle ABC = 180^{\circ} - \angle CAB - \angle ACB = 180^{\circ} - 86^{\circ} - 71^{\circ} = 180^{\circ} - 157^{\circ} = 23^{\circ} \).
2. Рассмотрим треугольник ADC. По условию \( AD = AC \), значит, треугольник ADC равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle ADC = \angle ACD \).
3. Угол \( \angle CAB \) является внешним углом треугольника BDC. \( \angle CAB = \angle ABC + \angle BCD \).
4. Это неверно. \( \angle CAB \) является углом при вершине A.
5. Рассмотрим \( \triangle ADC \). \( AD = AC \), значит \( \angle ADC = \angle ACD \).
6. Угол \( \angle CAD = \angle CAB = 86^{\circ} \) (так как D лежит на AB).
7. В \( \triangle ADC \): \( \angle ADC + \angle ACD + \angle CAD = 180^{\circ} \).
8. \( 2 \angle ACD + 86^{\circ} = 180^{\circ} \).
9. \( 2 \angle ACD = 180^{\circ} - 86^{\circ} = 94^{\circ} \).
10. \( \angle ACD = \frac{94^{\circ}}{2} = 47^{\circ} \).
11. Мы ищем \( \angle DCB \). \( \angle ACB = \angle ACD + \angle DCB \).
12. \( 71^{\circ} = 47^{\circ} + \angle DCB \).
13. \( \angle DCB = 71^{\circ} - 47^{\circ} = 24^{\circ} \).

Ответ: 24^{\(\circ\)}.