11. Тип 11 № 7485 i Сколько из изображенных на рисунке графов можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги?

Решение:

Задача сводится к определению, какие из представленных графов являются Эйлеровыми или содержат пути, позволяющие нарисовать их без отрыва карандаша. Это возможно, если граф имеет не более двух вершин нечетной степени.

Рассмотрим каждый граф:

1. Первый граф (ромбовидная фигура, состоящая из двух ромбов):

• Вершины: 4 центральные вершины, где пересекаются линии, и 4 крайние вершины.
• Степень вершин:
• Центральные вершины (где сходятся 4 линии): степень 4 (четная).
• Крайние вершины (на концах "рожек"): степень 1 (нечетная).
• Всего вершин нечетной степени: 4.
• Вывод: Так как вершин нечетной степени больше двух, этот граф нельзя нарисовать, не отрывая карандаша.

2. Второй граф (квадрат, разделенный одной горизонтальной линией):

• Вершины: 4 вершины квадрата.
• Степень вершин:
• Две верхние вершины: степень 2 (четная).
• Две нижние вершины: степень 3 (нечетная).
• Всего вершин нечетной степени: 2.
• Вывод: Так как вершин нечетной степени ровно две, этот граф можно нарисовать, не отрывая карандаша.

3. Третий граф (прямоугольник, разделенный двумя горизонтальными линиями):

• Вершины: 6 вершин (по 3 на верхней и нижней стороне).
• Степень вершин:
• Верхние крайние вершины: степень 2 (четная).
• Нижние крайние вершины: степень 2 (четная).
• Две средние верхние вершины: степень 3 (нечетная).
• Две средние нижние вершины: степень 3 (нечетная).
• Всего вершин нечетной степени: 4.
• Вывод: Так как вершин нечетной степени больше двух, этот граф нельзя нарисовать, не отрывая карандаша.

4. Четвертый граф (пятиконечная звезда):

• Вершины: 5 угловых вершин.
• Степень вершин: каждая вершина имеет степень 4 (четная).
• Всего вершин нечетной степени: 0.
• Вывод: Так как вершин нечетной степени ноль, этот граф можно нарисовать, не отрывая карандаша.

5. Пятый граф (треугольник с двумя диагоналями, образующий два нижних и один верхний треугольник):

• Вершины: 4 вершины (3 угла внешнего треугольника и 1 центральная вершина).
• Степень вершин:
• Три внешние вершины: степень 3 (нечетная).
• Центральная вершина: степень 3 (нечетная).
• Всего вершин нечетной степени: 4.
• Вывод: Так как вершин нечетной степени больше двух, этот граф нельзя нарисовать, не отрывая карандаша.

Итого:

Графы, которые можно нарисовать, не отрывая карандаша: второй (прямоугольник с одной линией) и четвертый (пятиконечная звезда).

Ответ: 2