11. При каких значениях переменной дробь имеет смысл: а) 12/(x² − 81); б) (x² + 1)/(x² − 9x + 14); в) (x² − 25)/(x² + 25); г) 1/(x − 4/x)?

Дробь имеет смысл, если её знаменатель не равен нулю.

1. а) Знаменатель:
   \(x^2-81\ne0\), значит \((x-9)(x+9)\ne0\).
   Следовательно, \(x\ne9\) и \(x\ne-9\).
   Ответ: \(x\in\mathbb{R}\setminus\{-9;9\}\).
2. б) Знаменатель:
   \(x^2-9x+14=(x-2)(x-7)\ne0\).
   Следовательно, \(x\ne2\) и \(x\ne7\).
   Ответ: \(x\in\mathbb{R}\setminus\{2;7\}\).
3. в) Знаменатель: \(x^2+25\). Для любого действительного \(x\) выполняется \(x^2+25>0\), поэтому знаменатель не равен нулю.
   Ответ: \(x\in\mathbb{R}\).
4. г) Сначала внутренний знаменатель должен быть ненулевым: \(x\ne0\). Кроме того, знаменатель всей дроби не должен равняться нулю:
   \(x-\frac{4}{x}\ne0\), откуда \(x^2-4\ne0\), значит \(x\ne-2\) и \(x\ne2\).
   Ответ: \(x\in\mathbb{R}\setminus\{-2;0;2\}\).