11. Площадь боковой поверхности конуса, у которого R = 5 см, Н = 12 см. 12. Объем цилиндра, осевое сечение которого есть квадрат площадью 49 см² 13. Площадь сечения шара плоскостью, удаленной от центра на 3 см, если радиус шара см.

Решение:

1. 11. Площадь боковой поверхности конуса

   Сначала найдем образующую l по теореме Пифагора: $$l^2 = R^2 + H^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$. Значит, $$l = \sqrt{169} = 13$$ см.

   Площадь боковой поверхности конуса: $$S_{бок} = \pi R l = \pi \times 5 \times 13 = 65\pi$$ см².

2. 12. Объем цилиндра

   Осевое сечение цилиндра — это квадрат. Площадь квадрата 49 см², значит, сторона квадрата равна $$\sqrt{49} = 7$$ см. Высота цилиндра H равна стороне квадрата, т.е. H = 7 см. Радиус основания цилиндра R равен половине стороны квадрата, т.е. $$R = 7/2 = 3,5$$ см.

   Объем цилиндра: $$V = \pi R^2 H = \pi \times (3,5)^2 \times 7 = \pi \times 12,25 \times 7 = 85,75\pi$$ см³.

3. 13. Площадь сечения шара

   Сечение шара плоскостью — это круг. Радиус этого круга r можно найти по теореме Пифагора, зная радиус шара R и расстояние от центра шара до плоскости d: $$r^2 = R^2 - d^2$$. В условии не указан радиус шара. Предположим, что радиус шара равен 5 см (как в примере 11). Тогда $$r^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$$. Значит, $$r = \sqrt{16} = 4$$ см.

   Площадь сечения (круга): $$S = \pi r^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi$$ см².

   Если радиус шара равен 8 см (как указано в конце предложения), тогда:

   $$r^2 = 8^2 - 3^2 = 64 - 9 = 55$$. Значит, $$r = \sqrt{55}$$ см.

   Площадь сечения (круга): $$S = \pi r^2 = \pi \times 55 = 55\pi$$ см².

Ответ:

1. 11. $$65\pi$$ см²
2. 12. $$85,75\pi$$ см³
3. 13. $$16\pi$$ см² (при R=5 см) или $$55\pi$$ см² (при R=8 см).