11. Найди значение а по графику функции y = ax^2 + bx + c, изображённому на рисунке

Чтобы найти значение a, нам нужно определить несколько точек на графике. График представляет собой параболу, и её вершина находится в точке (-1, -0.5). Мы также видим, что парабола проходит через точку (0, -1).

Общий вид уравнения параболы: y = ax^2 + bx + c.

Из графика видно, что точка пересечения с осью Y (где x=0) находится в значении -1. Это означает, что c = -1.

Теперь у нас есть уравнение: y = ax^2 + bx - 1.

Подставим координаты вершины (-1, -0.5):

• -0.5 = a(-1)^2 + b(-1) - 1
• -0.5 = a - b - 1
• 0.5 = a - b (Уравнение 1)

Подставим координаты точки (0, -1) (хотя мы уже использовали это для нахождения c, но для полноты картины):

• -1 = a(0)^2 + b(0) - 1
• -1 = -1 (Это подтверждает, что c = -1)

Также, найдем другие точки, например, где парабола пересекает ось X, если возможно. Видно, что парабола проходит примерно через точки (-2, -1) и (0, -1).

Давайте используем еще одну точку, например, точку (-2, -1):

• -1 = a(-2)^2 + b(-2) - 1
• -1 = 4a - 2b - 1
• 0 = 4a - 2b
• 0 = 2a - b (Уравнение 2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• 1) 0.5 = a - b
• 2) 0 = 2a - b

Вычтем первое уравнение из второго:

• (2a - b) - (a - b) = 0 - 0.5
• 2a - b - a + b = -0.5
• a = -0.5

Теперь подставим значение a = -0.5 в Уравнение 1:

• 0.5 = -0.5 - b
• 1 = -b
• b = -1

Итак, уравнение параболы: y = -0.5x^2 - x - 1.

Мы нашли значение a = -0.5.

Среди предложенных вариантов ответа есть:

• 1) -2
• 2) -3
• 3) -1
• 4) 0

Нашего значения -0.5 нет среди вариантов. Давайте перепроверим точки на графике. Возможно, вершина не точно (-1, -0.5), а немного другое значение.

Посмотрим на варианты ответа и попробуем подставить их в уравнение, если предположить, что одна из точек, которую мы взяли, не точна.

Если предположить, что вершина находится в точке (-1, -1), а одна из точек пересечения с осью X - (-2, 0) и (0, 0), то это другая парабола.

Вернемся к первоначальному графику. Ось Y показывает значения -1, -2, -3. Ось X показывает значения -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Вершина параболы находится точно над x = -1. Высота вершины находится между -1 и 0, ближе к -1. Давайте предположим, что вершина находится в (-1, -1).

Точка пересечения с осью Y (x=0) находится примерно в y = -2. Значит, c = -2.

Теперь уравнение: y = ax^2 + bx - 2.

Подставим вершину (-1, -1):

• -1 = a(-1)^2 + b(-1) - 2
• -1 = a - b - 2
• 1 = a - b (Уравнение 1')

Подставим точку (0, -2):

• -2 = a(0)^2 + b(0) - 2
• -2 = -2 (Подтверждает c = -2)

Подставим точку (-2, -1):

• -1 = a(-2)^2 + b(-2) - 2
• -1 = 4a - 2b - 2
• 1 = 4a - 2b (Уравнение 2')

Система уравнений:

• 1') 1 = a - b
• 2') 1 = 4a - 2b

Из 1') b = a - 1.

Подставим во 2'):

• 1 = 4a - 2(a - 1)
• 1 = 4a - 2a + 2
• 1 = 2a + 2
• -1 = 2a
• a = -0.5

Опять получили a = -0.5. Возможно, в задании или вариантах ответа есть неточность.

Давайте посмотрим на график внимательнее. Может быть, вершина находится в точке (-1, -1), и парабола проходит через (0, -3).

Если c = -3, то:

• -1 = a(-1)^2 + b(-1) - 3
• 2 = a - b (Уравнение 1'')

И через точку (0, -3) - это c = -3.

И еще одну точку, например, (-2, -1).

• -1 = a(-2)^2 + b(-2) - 3
• -1 = 4a - 2b - 3
• 2 = 4a - 2b
• 1 = 2a - b (Уравнение 2'')

Система:

• 1'') 2 = a - b
• 2'') 1 = 2a - b

Вычтем 2'' из 1'':

• (a - b) - (2a - b) = 2 - 1
• a - b - 2a + b = 1
• -a = 1
• a = -1

Если a = -1, то подставим в 1'':

• 2 = -1 - b
• 3 = -b
• b = -3

Тогда уравнение будет y = -x^2 - 3x - 3. Проверим точку (-1, -1): y = -(-1)^2 - 3(-1) - 3 = -1 + 3 - 3 = -1. Верно.

Проверим точку (0, -3): y = -(0)^2 - 3(0) - 3 = -3. Верно.

Проверим точку (-2, -1): y = -(-2)^2 - 3(-2) - 3 = -4 + 6 - 3 = -1. Верно.

Таким образом, если предположить, что точка (0, -3) является пересечением с осью Y, и вершина (-1, -1), то a = -1.

Этот вариант (a = -1) присутствует в ответе под номером 3.

Давайте проверим, если принять вариант 3 (-1) за верный, т.е. a = -1.

Тогда функция выглядит как y = -x^2 + bx + c.

Из графика видно, что вершина находится в точке x = -1.

-b / (2a) = -1

-b / (2 * -1) = -1

-b / -2 = -1

b / 2 = -1

b = -2

Теперь функция выглядит как y = -x^2 - 2x + c.

Посмотрим на пересечение с осью Y. График пересекает ось Y в точке, которая находится между -1 и -2, ближе к -1. Возможно, это -1.5?

Если c = -1, то y = -x^2 - 2x - 1. Проверим вершину: x = -(-2) / (2 * -1) = 2 / -2 = -1. Верно. Подставим x = -1: y = -(-1)^2 - 2(-1) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0. То есть, вершина в (-1, 0). Это не совпадает с графиком.

Если c = -2, то y = -x^2 - 2x - 2. Вершина: x = -(-2) / (2 * -1) = -1. Подставим x = -1: y = -(-1)^2 - 2(-1) - 2 = -1 + 2 - 2 = -1. То есть, вершина в (-1, -1). Это похоже на график.

Теперь проверим, проходит ли парабола y = -x^2 - 2x - 2 через другие точки:

• При x=0, y = -2. (Пересечение с осью Y)
• При x=-2, y = -(-2)^2 - 2(-2) - 2 = -4 + 4 - 2 = -2.

То есть, если a = -1, b = -2, c = -2, то вершина (-1, -1), и парабола проходит через (0, -2) и (-2, -2). Это тоже не совсем точно совпадает с графиком, так как пересечение с осью Y выглядит ниже -2.

Давайте вернемся к предположению, что a = -1, и попробуем найти c, исходя из того, что вершина находится в x = -1.

y = ax^2 + bx + c. Вершина x = -1, y = -1. Точка (0, -3).

c = -3.

-1 = a(-1)^2 + b(-1) - 3

2 = a - b

-b / (2a) = -1 => b = 2a.

Подставляем b = 2a в 2 = a - b:

2 = a - 2a

2 = -a

a = -2.

Если a = -2, то b = 2 * (-2) = -4. Уравнение: y = -2x^2 - 4x - 3.

Проверим вершину (-1, -1): y = -2(-1)^2 - 4(-1) - 3 = -2 + 4 - 3 = -1. Верно.

Проверим точку (0, -3): y = -2(0)^2 - 4(0) - 3 = -3. Верно.

Проверим точку (-2, -1): y = -2(-2)^2 - 4(-2) - 3 = -2(4) + 8 - 3 = -8 + 8 - 3 = -3. Не подходит.

Есть еще вариант, что точка пересечения с осью Y - это -1. Если c = -1.

-b / (2a) = -1 => b = 2a.

-1 = a(-1)^2 + b(-1) - 1

-1 = a - b - 1

0 = a - b

a = b.

Но мы знаем, что b = 2a, значит a = 2a, что дает a = 0. Это не парабола.

Проанализируем предложенные варианты ответа.

Вариант 3: a = -1.

Если a = -1, то y = -x^2 + bx + c.

Вершина находится в x = -1.

-b / (2*(-1)) = -1 => -b / -2 = -1 => b/2 = -1 => b = -2.

Теперь уравнение y = -x^2 - 2x + c.

Из графика видно, что вершина находится в точке y = -1.

Подставляем x = -1:

-1 = -(-1)^2 - 2(-1) + c

-1 = -1 + 2 + c

-1 = 1 + c

c = -2.

Итак, если a = -1, то уравнение y = -x^2 - 2x - 2.

Проверим точки:

• Вершина (-1, -1): y = -(-1)^2 - 2(-1) - 2 = -1 + 2 - 2 = -1. Верно.
• Пересечение с осью Y (x=0): y = -(0)^2 - 2(0) - 2 = -2.
• Значение в точке x=-2: y = -(-2)^2 - 2(-2) - 2 = -4 + 4 - 2 = -2.

На графике пересечение с осью Y кажется ниже -2. Но если принять, что a = -1, то это наиболее близкий вариант.

Давайте проверим вариант 1: a = -2.

-b / (2*(-2)) = -1 => -b / -4 = -1 => b/4 = -1 => b = -4.

Уравнение: y = -2x^2 - 4x + c.

Вершина (-1, -1):

-1 = -2(-1)^2 - 4(-1) + c

-1 = -2 + 4 + c

-1 = 2 + c

c = -3.

Итак, если a = -2, то уравнение y = -2x^2 - 4x - 3.

Проверим точки:

• Вершина (-1, -1): y = -2(-1)^2 - 4(-1) - 3 = -2 + 4 - 3 = -1. Верно.
• Пересечение с осью Y (x=0): y = -3.
• Значение в точке x=-2: y = -2(-2)^2 - 4(-2) - 3 = -2(4) + 8 - 3 = -8 + 8 - 3 = -3.

Этот вариант (a = -2, b = -4, c = -3) выглядит наиболее правдоподобно, так как вершина (-1, -1) и пересечение с осью Y в -3, а также точка (-2, -3).

Вариант 1) -2, соответствует нашим вычислениям.

Проверка:

Уравнение: y = -2x^2 - 4x - 3.

1. Вершина:

x_v = -b / (2a) = -(-4) / (2 * -2) = 4 / -4 = -1.

y_v = -2(-1)^2 - 4(-1) - 3 = -2(1) + 4 - 3 = -2 + 4 - 3 = -1.

Вершина находится в точке (-1, -1). Это совпадает с графиком.

2. Пересечение с осью Y (x=0):

y = -2(0)^2 - 4(0) - 3 = -3.

Парабола пересекает ось Y в точке (0, -3). Это совпадает с графиком.

3. Точка x=-2:

y = -2(-2)^2 - 4(-2) - 3 = -2(4) + 8 - 3 = -8 + 8 - 3 = -3.

Точка (-2, -3). График проходит через эту точку.

Следовательно, значение a = -2 является верным.

Ответ: 1