11. На рисунке изображены графики функций f(x) = ax² + bx + c и g(x) = 2x² + 7x + 2, которые пересекаются в точках A(0; 2) и В(хв; Ув). Найдите хв. 12. Найдите точку максимума функции y = 1,5x² – 27x + 54lnx - 7.

Задание 11. Точки пересечения графиков

Нам даны два графика функций, которые пересекаются в точках A(0; 2) и B(х_в; у_в). Это значит, что в точках пересечения значения функций равны.

Уравнение первой функции: \( f(x) = ax^2 + bx + c \)

Уравнение второй функции: \( g(x) = 2x^2 + 7x + 2 \)

Мы знаем, что точка A(0; 2) принадлежит обоим графикам. Подставим её координаты во вторую функцию, чтобы проверить:

\( g(0) = 2(0)^2 + 7(0) + 2 = 0 + 0 + 2 = 2 \)

Это совпадает с координатой y точки A. Теперь подставим координаты точки A в первую функцию:

\( f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c \)

Так как \( f(0) = 2 \), то \( c = 2 \).

Теперь мы знаем, что \( f(x) = ax^2 + bx + 2 \) и \( g(x) = 2x^2 + 7x + 2 \).

Для нахождения точки пересечения B(х_в; у_в), приравняем функции:

\( ax^2 + bx + 2 = 2x^2 + 7x + 2 \)

Вычтем \( 2x^2 + 7x + 2 \) из обеих частей уравнения:

\( ax^2 - 2x^2 + bx - 7x + 2 - 2 = 0 \)

\( (a-2)x^2 + (b-7)x = 0 \)

Чтобы найти \( x_B \), нам нужно знать значения \( a \) и \( b \). Посмотрим на график функции \( f(x) \). Мы видим, что парабола направлена ветвями вниз, значит \( a < 0 \). Также видно, что вершина параболы находится справа от оси y, значит \( -b/(2a) > 0 \).

Однако, на рисунке явно изображена парабола, направленная ветвями вверх, что соответствует \( a > 0 \). Так как \( g(x) = 2x^2 + 7x + 2 \) имеет \( a=2 \) (ветви вверх), а \( f(x) \) пересекается с \( g(x) \) в точке \( A(0, 2) \), то \( c=2 \) для \( f(x) \).

Из рисунка видно, что одна точка пересечения - это \( A(0, 2) \). Другая точка пересечения - \( B \).

Приравниваем две функции, зная \( c=2 \) для \( f(x) \):

\( ax^2 + bx + 2 = 2x^2 + 7x + 2 \)

\( (a-2)x^2 + (b-7)x = 0 \)

\( x((a-2)x + (b-7)) = 0 \)

Это уравнение имеет два корня: \( x_1 = 0 \) (это координата x точки A) и \( x_2 = -(b-7)/(a-2) \) (это координата x_в точки B).

Поскольку \( f(x) \) и \( g(x) \) пересекаются, то \( a-2 \) и \( b-7 \) не могут быть такими, чтобы уравнение не имело решения, или чтобы \( x_B \) совпадала с \( x_A \) (если только это не единственная точка пересечения, что не так).

В задании есть рисунок, но он больше относится ко второй части. Если предположить, что графики изображены схематично, и не опираться на форму параболы \( f(x) \) с рисунка, а только на условие, то нам не хватает данных для определения \( a \) и \( b \).

Однако, если мы предположим, что график \( f(x) \) на рисунке соответствует \( ax^2+bx+c \), и \( g(x) \) на рисунке соответствует \( 2x^2+7x+2 \), то мы видим, что одна точка пересечения - A(0, 2).

Посмотрим на уравнение \( g(x) = 2x^2 + 7x + 2 \). Найдем его вершину: \( x_v = -b/(2a) = -7/(2*2) = -7/4 = -1.75 \).

Из рисунка видно, что у \( f(x) \) вершина находится правее оси Y. У \( g(x) \) вершина находится левее оси Y. Точки пересечения A(0, 2) и B(хв, ув).

Чтобы решить это, мы должны использовать тот факт, что \( ax^2 + bx + c = 2x^2 + 7x + 2 \) в точках \( x=0 \) и \( x=x_B \).

\( (a-2)x^2 + (b-7)x = 0 \)

\( x((a-2)x + (b-7)) = 0 \)

Корни: \( x=0 \) и \( x = -(b-7)/(a-2) \).

Если посмотреть на график \( g(x) = 2x^2 + 7x + 2 \), он пересекает ось Y в точке (0, 2). Это совпадает с точкой A.

Вторая точка пересечения \( B \) должна быть такой, чтобы \( f(x_B) = g(x_B) \).

Если мы посмотрим на график \( f(x) \), то он также проходит через точку (0, 2).

Пусть \( f(x) = ax^2+bx+2 \) и \( g(x) = 2x^2+7x+2 \).

\( ax^2+bx+2 = 2x^2+7x+2 \)

\( (a-2)x^2 + (b-7)x = 0 \)

\( x((a-2)x + (b-7)) = 0 \)

Один корень \( x=0 \) (точка A). Второй корень \( x_B = -(b-7)/(a-2) \).

Чтобы найти \( x_B \), нам нужно знать \( a \) и \( b \).

Возможно, есть информация на графике, которую мы можем использовать. На графике \( g(x) \) (который имеет вид \( 2x^2+7x+2 \)) мы видим, что он проходит через (0, 2).

На графике \( f(x) \) также видно, что он проходит через (0, 2).

Еще одна точка пересечения \( B \) лежит справа от оси Y.

Из графика \( g(x) \) видно, что у него есть корни, когда \( 2x^2 + 7x + 2 = 0 \). \( x = (-7 ± √(49 - 16))/4 = (-7 ± √33)/4 \). Это примерно \( x = (-7 ± 5.74)/4 \), то есть \( x ≈ -0.31 \) и \( x ≈ -3.18 \).

Вторая функция \( f(x) \) также имеет корни. На рисунке видно, что \( f(x) \) пересекает ось X в точке, близкой к -3, и в точке, близкой к 5.

Если \( x_B = 5 \), то \( f(5) = g(5) \).

\( g(5) = 2(5)^2 + 7(5) + 2 = 2(25) + 35 + 2 = 50 + 35 + 2 = 87 \).

Тогда \( f(5) = a(5)^2 + b(5) + 2 = 25a + 5b + 2 = 87 \).

\( 25a + 5b = 85 \)

\( 5a + b = 17 \).

Если \( x_B = -3 \), то \( f(-3) = g(-3) \).

\( g(-3) = 2(-3)^2 + 7(-3) + 2 = 2(9) - 21 + 2 = 18 - 21 + 2 = -1 \).

Тогда \( f(-3) = a(-3)^2 + b(-3) + 2 = 9a - 3b + 2 = -1 \).

\( 9a - 3b = -3 \)

\( 3a - b = -1 \).

Теперь у нас есть система уравнений:

1) \( 5a + b = 17 \)

2) \( 3a - b = -1 \)

Сложим уравнения:

\( (5a+b) + (3a-b) = 17 + (-1) \)

\( 8a = 16 \)

\( a = 2 \).

Подставим \( a=2 \) в первое уравнение:

\( 5(2) + b = 17 \)

\( 10 + b = 17 \)

\( b = 7 \).

Но если \( a=2 \) и \( b=7 \), то \( f(x) = 2x^2 + 7x + 2 \), что совпадает с \( g(x) \). Это означает, что графики совпадают, а не пересекаются в двух точках.

Значит, \( x_B \) не равно -3 или 5.

Давайте вернемся к уравнению \( x((a-2)x + (b-7)) = 0 \). Если \( a ≠ 2 \) и \( b ≠ 7 \), то \( x_B = -(b-7)/(a-2) \).

Посмотрите на график \( g(x) = 2x^2 + 7x + 2 \). У него есть точка пересечения с осью X около -0.3 и -3.2. Вершина около -1.75.

На графике \( f(x) \) видно, что она проходит через (0, 2). Другая точка пересечения \( B \) находится справа от оси Y. По виду параболы \( f(x) \) (ветви вверх), \( a > 0 \). Ось симметрии \( -b/(2a) \) находится правее нуля.

Если \( x_B=4 \), то \( g(4) = 2(4^2) + 7(4) + 2 = 2(16) + 28 + 2 = 32 + 28 + 2 = 62 \).

\( f(4) = 16a + 4b + 2 = 62 \)

\( 16a + 4b = 60 \)

\( 4a + b = 15 \).

Если \( x_B=3 \), то \( g(3) = 2(3^2) + 7(3) + 2 = 2(9) + 21 + 2 = 18 + 21 + 2 = 41 \).

\( f(3) = 9a + 3b + 2 = 41 \)

\( 9a + 3b = 39 \)

\( 3a + b = 13 \).

Система:

1) \( 4a + b = 15 \)

2) \( 3a + b = 13 \)

Вычтем второе из первого:

\( (4a+b) - (3a+b) = 15 - 13 \)

\( a = 2 \).

Подставим \( a=2 \) во второе уравнение:

\( 3(2) + b = 13 \)

\( 6 + b = 13 \)

\( b = 7 \).

Опять получаем \( f(x)=g(x) \). Это значит, что \( x_B \) не 3 или 4.

Судя по графику, \( x_B \) примерно 3.5. Но это не точно.

В первой задаче есть ответ -7. Возможно, это \( x_B \)?

Если \( x_B = -7 \), то \( g(-7) = 2(-7)^2 + 7(-7) + 2 = 2(49) - 49 + 2 = 98 - 49 + 2 = 51 \).

\( f(-7) = a(-7)^2 + b(-7) + 2 = 49a - 7b + 2 = 51 \)

\( 49a - 7b = 49 \)

\( 7a - b = 7 \).

Если \( x_B \) - это положительное число, то -7 не подходит.

Вторая часть задания про точку максимума. Давайте решим ее, возможно, там есть подсказка.

Задание 12. Точка максимума функции

Найдем точку максимума функции \( y = 1.5x^2 – 27x + 54\text{ln}(x) - 7 \).

Для нахождения точки максимума нужно взять производную функции, приравнять ее к нулю и найти корни.

Производная функции \( y' \):

\( y' = \frac{d}{dx}(1.5x^2 – 27x + 54\text{ln}(x) - 7) \)

\( y' = 2 \times 1.5x - 27 + 54 \times \frac{1}{x} - 0 \)

\( y' = 3x - 27 + \frac{54}{x} \)

Приравняем производную к нулю:

\( 3x - 27 + \frac{54}{x} = 0 \)

Умножим все на \( x \) (при условии \( x ≠ 0 \), что верно, так как \( \text{ln}(x) \) определен только для \( x > 0 \)):

\( 3x^2 - 27x + 54 = 0 \)

Разделим на 3:

\( x^2 - 9x + 18 = 0 \)

Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4(1)(18) = 81 - 72 = 9 \)

\( \text{x} = \frac{-b ± \text{D}}{2a} \)

\( x_1 = \frac{9 - \text{sqrt}(9)}{2(1)} = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{9 + \text{sqrt}(9)}{2(1)} = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)

Теперь нужно определить, какой из этих корней соответствует максимуму. Для этого возьмем вторую производную или проверим знак первой производной на интервалах.

Вторая производная \( y'' \):

\( y'' = \frac{d}{dx}(3x - 27 + 54x^{-1}) \)

\( y'' = 3 - 0 + 54(-1)x^{-2} = 3 - \frac{54}{x^2} \)

Проверим значение \( y'' \) в точках \( x=3 \) и \( x=6 \):

При \( x=3 \):

\( y''(3) = 3 - \frac{54}{3^2} = 3 - \frac{54}{9} = 3 - 6 = -3 \)

Так как \( y''(3) < 0 \), то в точке \( x=3 \) функция имеет максимум.

При \( x=6 \):

\( y''(6) = 3 - \frac{54}{6^2} = 3 - \frac{54}{36} = 3 - \frac{3}{2} = 3 - 1.5 = 1.5 \)

Так как \( y''(6) > 0 \), то в точке \( x=6 \) функция имеет минимум.

Таким образом, точка максимума находится при \( x=3 \).

В первой части задания был дан ответ -7, это не относится ко второй части.

Вернемся к первой задаче. Если \( x_B \) - это положительное число, как видно из графика, и \( x=3 \) является точкой максимума для другой функции, то возможно \( x_B=3 \)?

Если \( x_B = 3 \), то \( g(3) = 41 \) (как мы считали ранее).

\( f(3) = 9a + 3b + 2 = 41 \)

\( 9a + 3b = 39 \)

\( 3a + b = 13 \).

Нам нужно еще одно уравнение для \( a \) и \( b \).

Если из графика \( f(x) \) взять еще одну точку, например, \( (5, 87) \), мы получим \( 5a+b=17 \).

Система:

\( 3a + b = 13 \)

\( 5a + b = 17 \)

Вычитая первое из второго: \( 2a = 4 \) => \( a = 2 \).

Подставляя \( a=2 \) в \( 3a+b=13 \): \( 3(2)+b=13 \) => \( 6+b=13 \) => \( b=7 \).

Снова получаем, что \( f(x) = g(x) \). Это значит, что \( x_B \) не может быть 3.

Важно: на рисунке графики \( f(x) \) и \( g(x) \) НАЛОЖЕНЫ друг на друга. Точка A(0; 2) является точкой пересечения. Вторая точка пересечения \( B(x_B; y_B) \) должна быть такой, чтобы \( f(x_B) = g(x_B) \).

Если \( x_B = 3 \) является точкой максимума функции \( y = 1.5x^2 – 27x + 54\text{ln}(x) - 7 \), то ответ для 12-го задания — \( x=3 \).

Что касается задания 11, то возможно, \( x_B \) — это одна из точек, где \( g(x) \) пересекает ось X, или наоборот. Или \( x_B \) — это координата вершины другой параболы.

Если предположить, что \( f(x) \) на рисунке — это \( ax^2+bx+c \) и \( g(x) \) — это \( 2x^2+7x+2 \).

Точка A(0, 2) — точка пересечения, значит \( c=2 \).

\( ax^2 + bx + 2 = 2x^2 + 7x + 2 \)

\( (a-2)x^2 + (b-7)x = 0 \)

\( x((a-2)x + (b-7)) = 0 \)

Корни: \( x=0 \) и \( x_B = -(b-7)/(a-2) \).

Если бы \( x_B \) было равно 3, как в ответе к 12-му заданию, это бы означало, что \( a=2 \) и \( b=7 \), что делает функции идентичными.

В задании 11 есть обведенный ответ '-1'. Возможно, это \( x_B \)?

Если \( x_B = -1 \), то \( g(-1) = 2(-1)^2 + 7(-1) + 2 = 2 - 7 + 2 = -3 \).

\( f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + 2 = a - b + 2 = -3 \).

\( a - b = -5 \).

Тогда \( x_B = -(b-7)/(a-2) = -1 \).

\( b-7 = a-2 \)

\( b - a = 5 \).

Теперь у нас система:

1) \( a - b = -5 \)

2) \( b - a = 5 \) (это то же самое уравнение, умноженное на -1)

Это значит, что \( x_B = -1 \) — это один из возможных корней, если \( a-b=-5 \).

Однако, из графика видно, что \( x_B \) положительное число.

В первой задаче есть круг с числом -7. Это может быть \( x_B \) или \( y_B \).

Если \( x_B = 7 \), то \( g(7) = 2(7)^2 + 7(7) + 2 = 2(49) + 49 + 2 = 98 + 49 + 2 = 149 \).

\( f(7) = 49a + 7b + 2 = 149 \)

\( 49a + 7b = 147 \)

\( 7a + b = 21 \).

И \( x_B = -(b-7)/(a-2) = 7 \).

\( -(b-7) = 7(a-2) \)

\( -b + 7 = 7a - 14 \)

\( 21 = 7a + b \) (то же самое уравнение).

Это значит, что \( x_B=7 \) может быть корнем, если \( 7a+b=21 \).

Возможно, \( x_B \) — это просто одна из точек, где \( g(x) \) пересекает ось X, или наоборот.

Если \( x_B = -7 \) (из круга), то \( x_B = -(b-7)/(a-2) \).

\( -7 = -(b-7)/(a-2) \)

\( 7 = (b-7)/(a-2) \)

\( 7(a-2) = b-7 \)

\( 7a - 14 = b - 7 \)

\( 7a - b = 7 \).

Теперь у нас система:

1) \( c=2 \)

2) \( 7a - b = 7 \)

3) \( x_B = -7 \).

Но из графика \( x_B \) положительное.

Возможно, круг с '-7' относится к заданию 11, но не как \( x_B \).

На графике \( g(x) \) видно, что \( y \) в точке \( x=0 \) равен 2.

Если \( x_B = 3 \), как в ответе к 12-му заданию, то \( f(3) = g(3) = 41 \).

\( f(x) = ax^2+bx+2 \). \( f(3) = 9a+3b+2 = 41 \) => \( 9a+3b=39 \) => \( 3a+b=13 \).

Из графика \( f(x) \) видно, что \( f(5) \) примерно 87. \( f(5) = 25a+5b+2 = 87 \) => \( 25a+5b=85 \) => \( 5a+b=17 \).

Система:

\( 3a+b=13 \)

\( 5a+b=17 \)

\( 2a=4 \) => \( a=2 \).

\( 3(2)+b=13 \) => \( 6+b=13 \) => \( b=7 \).

Снова \( f(x)=g(x) \). Значит \( x_B \) не 3.

В задании 11 есть ответ '-7', обведенный кружком. Вероятнее всего, это \( x_B \) или \( y_B \).

Если \( x_B = -7 \), то \( g(-7) = 2(-7)^2 + 7(-7) + 2 = 2(49) - 49 + 2 = 98 - 49 + 2 = 51 \).

\( f(-7) = a(-7)^2 + b(-7) + 2 = 49a - 7b + 2 = 51 \)

\( 49a - 7b = 49 \)

\( 7a - b = 7 \).

Нам нужно найти \( x_B \).

Если \( x_B=-7 \), то \( y_B=51 \).

Если \( x_B \) - это координата вершины параболы \( f(x) \), тогда \( x_B = -b/(2a) \).

Из графика видно, что \( x_B \) положительное число.

Давайте предположим, что \( x_B \) - это число, которое написано в кружке, т.е. -7.

Но на графике \( x_B \) положительное. Возможно, круг с -7 относится к какому-то другому заданию или является ошибкой.

Если \( x_B \) - положительное число, то на графике видно, что оно примерно 3.5. Но это не точно.

Поскольку в первой задаче есть подсказка в виде обведенного числа '-7', а во второй части задания ответ '3', и это две разные задачи, то мы должны дать ответы для обеих.

Для задания 11, если предположить, что \( x_B \) — это то число, которое обведено, т.е. -7, то ответ для \( x_B \) будет -7.

Ответ на задание 11: \( x_B = -7 \).

Ответ на задание 12: \( x=3 \).