11. На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и N. Известно, что ∠NBA = 63°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Точка M лежит на окружности, и NM — хорда. Угол NMB опирается на дугу NB. Угол NAB также опирается на дугу NB.

Угол NAB является частью угла MAB. Угол MNB — вписанный угол, опирающийся на диаметр AB, значит, \( \angle MNB = 90^{\circ} \).

В треугольнике NMB:

\( \angle NMB + \angle MBN + \angle BNM = 180^{\circ} \)

\( \angle MBN = \angle NBA = 63^{\circ} \) (этот угол также является вписанным, опирающимся на дугу NA).

Угол NMB является искомым.

Рассмотрим вписанный угол NAB. Он опирается на дугу NB.

Угол NBA = 63°. В треугольнике NAB, \( \angle ANB = 90^{\circ} \) (так как опирается на диаметр AB).

\( \angle NAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 63^{\circ} = 27^{\circ} \).

Угол NMB опирается на дугу NB. Угол NAB опирается на ту же дугу NB.

Следовательно, \( \angle NMB = \angle NAB \).

\( \angle NMB = 27^{\circ} \).

Ответ: 27°.