11. ME = 20.

Решение:

По условию задачи имеем треугольник \( \triangle MNE \) и отрезок \( NF \), где \( F \) лежит на \( ME \). Из рисунка видно, что \( NF \) является высотой, так как в точке \( N \) проведены два равных угла, указывающих на перпендикулярность \( NF \) к \( ME \). Также даны длины сторон \( MN = 14 \) и \( NE = 10,5 \). Отрезок \( ME = 20 \), а \( MF = x \) и \( FE = y \), причём \( x + y = 20 \).

По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников \( \triangle MNF \) и \( \triangle NEF \), имеем:

1. В \( \triangle MNF \): \( MN^2 = MF^2 + NF^2 \) → \( 14^2 = x^2 + NF^2 \) → \( 196 = x^2 + NF^2 \)
2. В \( \triangle NEF \): \( NE^2 = FE^2 + NF^2 \) → \( 10,5^2 = y^2 + NF^2 \) → \( 110,25 = y^2 + NF^2 \)

Из первого уравнения выразим \( NF^2 = 196 - x^2 \).

Подставим во второе уравнение:

\( 110,25 = y^2 + (196 - x^2) \)

Также мы знаем, что \( y = 20 - x \). Подставим это:

\( 110,25 = (20 - x)^2 + 196 - x^2 \)

Раскроем скобки:

\( 110,25 = 400 - 40x + x^2 + 196 - x^2 \)

\( 110,25 = 596 - 40x \)

Теперь решим относительно \( x \):

\( 40x = 596 - 110,25 \)

\( 40x = 485,75 \)

\( x = \frac{485,75}{40} \) \( = 12,14375 \)

Теперь найдём \( y \):

\( y = 20 - x = 20 - 12,14375 = 7,85625 \)

Ответ: x = 12,14375, y = 7,85625.