11. Докажите, что при любом значении b:

Решение:

а) Докажем, что значение выражения \( \frac{1}{9}b^2 + \left( \frac{1}{3}b + \frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3}b \right) + 2,75 \) равно 3.

1. Раскроем скобки в выражении: \( \left( \frac{1}{3}b + \frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3}b \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 - \left( \frac{1}{3}b \right)^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{9}b^2 \).
2. Подставим полученное выражение обратно: \( \frac{1}{9}b^2 + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9}b^2 \right) + 2,75 \).
3. Упростим выражение: \( \frac{1}{9}b^2 + \frac{1}{4} - \frac{1}{9}b^2 + 2,75 = \frac{1}{4} + 2,75 \).
4. Переведём десятичную дробь в обыкновенную: \( 2,75 = 2 \frac{75}{100} = 2 \frac{3}{4} \).
5. Сложим дроби: \( \frac{1}{4} + 2 \frac{3}{4} = 2 \frac{1+3}{4} = 2 \frac{4}{4} = 3 \).

Доказано.

б) Докажем, что значение выражения \( \left( 3,2 - \frac{1}{4}b \right) \left( 0,25b + 3,2 \right) + \frac{1}{16}b^2 \) равно 10,24.

1. Переведём десятичные дроби в обыкновенные: \( 3,2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5} \), \( 0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \).
2. Подставим в выражение: \( \left( \frac{16}{5} - \frac{1}{4}b \right) \left( \frac{1}{4}b + \frac{16}{5} \right) + \frac{1}{16}b^2 \).
3. Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \): \( \left( \frac{16}{5} \right)^2 - \left( \frac{1}{4}b \right)^2 + \frac{1}{16}b^2 \).
4. Вычислим: \( \frac{256}{25} - \frac{1}{16}b^2 + \frac{1}{16}b^2 \).
5. Упростим выражение: \( \frac{256}{25} \).
6. Переведём обыкновенную дробь в десятичную: \( \frac{256}{25} = 10,24 \).

Доказано.