11. Докажите, что при любом целом значении х является натуральным числом значение дроби $$\frac{x^2(x^2+6)+9}{x^2+3}$$.

Решение:

Рассмотрим данное выражение:

\[ \frac{x^2(x^2+6)+9}{x^2+3} = \frac{x^4 + 6x^2 + 9}{x^2+3} \]

Заметим, что числитель является полным квадратом:

\[ x^4 + 6x^2 + 9 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 3 + 3^2 = (x^2+3)^2 \]

Теперь подставим это обратно в дробь:

\[ \frac{(x^2+3)^2}{x^2+3} = x^2+3 \]

По условию \( x \) — любое целое число. Следовательно, \( x^2 \) — неотрицательное целое число (\( x^2 \ge 0 \)).

Тогда \( x^2+3 \) будет целым числом, большим или равным 3 (\( x^2+3 \ge 3 \)).

Так как \( x^2 \ge 0 \), то \( x^2+3 \) является натуральным числом.

Доказательство: При любом целом \( x \), значение выражения \( \frac{x^2(x^2+6)+9}{x^2+3} \) равно \( x^2+3 \), что является натуральным числом.