1077. Решите графически систему уравнений: x - 2y = 6, 3x + 2y = -6; 2x + 3y = 0, x - y = 0 (See image for full question)

Привет! Давай разберем эти системы уравнений.

Задание 1077:

а) Система:

• \[ \begin{cases} x - 2y = 6 \\ 3x + 2y = -6 \end{cases} \]

Решение:

Сложим два уравнения системы:

• \[ (x - 2y) + (3x + 2y) = 6 + (-6) \]
• \[ 4x = 0 \]
• \[ x = 0 \]

Теперь подставим значение x в первое уравнение:

• \[ 0 - 2y = 6 \]
• \[ -2y = 6 \]
• \[ y = -3 \]

Проверка:

• \[ 3(0) + 2(-3) = 0 - 6 = -6 \] (Верно)

б) Система:

• \[ \begin{cases} 2x + 3y = 0 \\ x - y = 0 \end{cases} \]

Решение:

Из второго уравнения выразим x:

• \[ x = y \]

Подставим это в первое уравнение:

• \[ 2(y) + 3y = 0 \]
• \[ 5y = 0 \]
• \[ y = 0 \]

Тогда:

• \[ x = y = 0 \]

Проверка:

• \[ 2(0) + 3(0) = 0 \] (Верно)
• \[ 0 - 0 = 0 \] (Верно)

Задание 1078:

а) Система:

• \[ \begin{cases} 4y - x = 12 \\ 3y + x = -3 \end{cases} \]

Решение:

Сложим уравнения:

• \[ (4y - x) + (3y + x) = 12 + (-3) \]
• \[ 7y = 9 \]
• \[ y = \frac{9}{7} \]

Подставим y в первое уравнение:

• \[ 4(\frac{9}{7}) - x = 12 \]
• \[ \frac{36}{7} - x = 12 \]
• \[ x = \frac{36}{7} - 12 \]
• \[ x = \frac{36}{7} - \frac{84}{7} \]
• \[ x = -\frac{48}{7} \]

б) Система:

• \[ \begin{cases} 1.5x = 1 \\ -3x + 2y = -2 \end{cases} \]

Решение:

Из первого уравнения найдем x:

• \[ x = \frac{1}{1.5} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \]

Подставим x во второе уравнение:

• \[ -3(\frac{2}{3}) + 2y = -2 \]
• \[ -2 + 2y = -2 \]
• \[ 2y = 0 \]
• \[ y = 0 \]

в) Система:

• \[ \begin{cases} y - 3x = 0 \\ 3y - x = 6 \end{cases} \]

Решение:

Из первого уравнения выразим y:

• \[ y = 3x \]

Подставим во второе уравнение:

• \[ 3(3x) - x = 6 \]
• \[ 9x - x = 6 \]
• \[ 8x = 6 \]
• \[ x = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]

Найдем y:

• \[ y = 3x = 3(\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \]

г) Система:

• \[ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ y = -0.5x \end{cases} \]

Решение:

Подставим второе уравнение в первое:

• \[ x + 2(-0.5x) = 3 \]
• \[ x - x = 3 \]
• \[ 0 = 3 \]

Это противоречие, значит, система не имеет решений.

д) Система:

• \[ \begin{cases} 2x + 6y = 12 \\ x + 3y = 6 \end{cases} \]

Решение:

Умножим второе уравнение на 2:

• \[ 2(x + 3y) = 2(6) \]
• \[ 2x + 6y = 12 \]

Видим, что первое уравнение идентично умноженному второму. Это означает, что система имеет бесконечно много решений.

Ответ:

1077 а) (0; -3)

1077 б) (0; 0)

1078 а) (-\(\frac{48}{7}\); \(\frac{9}{7}\))

1078 б) (\(\frac{2}{3}\); 0)

1078 в) (\(\frac{3}{4}\); \(\frac{9}{4}\))

1078 г) Решений нет

1078 д) Бесконечно много решений