104. Прямые AB, CD и МК пересекаются в точке О (рис. 88), ∠AOC = 70°. ∠MOB = 15°. Найдите ∠DOK, ∠AOM и ∠AOD.

Решение:

Нам даны пересекающиеся прямые AB, CD и MK в точке O. Известно, что \( \angle AOC = 70^{\circ} \) и \( \angle MOB = 15^{\circ} \).

1. Найдём \( \angle DOK \):

Углы \( \angle AOC \) и \( \angle DOK \) являются вертикальными. Вертикальные углы равны.

Следовательно, \( \angle DOK = \angle AOC = 70^{\circ} \).

2. Найдём \( \angle AOM \):

Углы \( \angle AOC \) и \( \angle COM \) являются смежными, так как лежат на прямой CD. Сумма смежных углов равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle AOC + \angle COM = 180^{\circ} \)

\( 70^{\circ} + \angle COM = 180^{\circ} \)

\( \angle COM = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \).

Углы \( \angle AOM \) и \( \angle COM \) являются смежными, так как лежат на прямой MK. Сумма смежных углов равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle AOM + \angle COM = 180^{\circ} \)

\( \angle AOM + 110^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle AOM = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \).

(Примечание: Угол \( \angle MOB = 15^{\circ} \) не используется в данном решении, возможно, это дополнительная информация или относится к другому условию.)

3. Найдём \( \angle AOD \):

Углы \( \angle AOC \) и \( \angle BOC \) являются смежными, так как лежат на прямой AB. Сумма смежных углов равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle AOC + \angle BOC = 180^{\circ} \)

\( 70^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ} \)

\( \angle BOC = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \).

Углы \( \angle BOC \) и \( \angle AOD \) являются вертикальными. Вертикальные углы равны.

Следовательно, \( \angle AOD = \angle BOC = 110^{\circ} \).

(Альтернативно: Углы \( \angle AOM \) и \( \angle AOD \) являются смежными, так как лежат на прямой CD. \( \angle AOM = 70^{\circ} \) (найдено ранее). \( \angle AOM + \angle AOD = 180^{\circ} \) → \( 70^{\circ} + \angle AOD = 180^{\circ} \) → \( \angle AOD = 110^{\circ} \). )

Ответ: \( \angle DOK = 70^{\circ} \), \( \angle AOM = 70^{\circ} \), \( \angle AOD = 110^{\circ} \).