102. Начертите произвольный треугольник DEF. Отметьте середины его сторон DE, EF, DF и обозначьте их соответственно буквами M, N и P. Определите вид четырёхугольника DMNP. Укажите все треугольники, равные треугольнику MNP.

Соединим точки M, N и P.

Так как M, N и P — середины сторон треугольника DEF, по теореме о средней линии:

1. MN ∥ DF;
2. NP ∥ DE.

При этом DM лежит на прямой DE, а DP — на прямой DF. Значит, DM ∥ NP и MN ∥ DP. Следовательно, четырёхугольник DMNP — параллелограмм.

Кроме того, каждая сторона треугольника MNP равна половине соответствующей стороны треугольника DEF:

\(MN=\frac{DF}{2}\), \(NP=\frac{DE}{2}\), \(MP=\frac{EF}{2}\).

У треугольников DMP, EMN и FNP такие же три стороны, поэтому по третьему признаку равенства треугольников:

\(\triangle DMP=\triangle EMN=\triangle FNP=\triangle MNP\).

Ответ: DMNP — параллелограмм; треугольнику MNP равны треугольники DMP, EMN и FNP.