1001. Докажите, что если векторы $\vec a$ и $\vec b$ не коллинеарны, то: а) векторы $\vec a+\vec b$ и $\vec a-\vec b$ не коллинеарны; б) векторы $2\vec a-\vec b$ и $\vec a+\vec b$ не коллинеарны; в) векторы $\vec a+\vec b$ и $\vec a+3\vec b$ не коллинеарны.

Question

1001. Докажите, что если векторы $\vec a$ и $\vec b$ не коллинеарны, то: а) векторы $\vec a+\vec b$ и $\vec a-\vec b$ не коллинеарны; б) векторы $2\vec a-\vec b$ и $\vec a+\vec b$ не коллинеарны; в) векторы $\vec a+\vec b$ и $\vec a+3\vec b$ не коллинеарны.

$Фото задания: 1001. Докажите, что если векторы $\vec a$ и $\vec b$ не коллинеарны, то: а) векторы $\vec a+\vec b$ и $\vec a-\vec b$…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $\vec a$ и $\vec b$ неколлинеарны, равенство вида $x\vec a+y\vec b=\vec 0$ возможно только при $x=y=0$.

а) Предположим, что $\vec a+\vec b$ и $\vec a-\vec b$ коллинеарны. Тогда существует число $\lambda$, такое что $\vec a+\vec b=\lambda(\vec a-\vec b)$. Следовательно, $(1-\lambda)\vec a+(1+\lambda)\vec b=\vec 0$. Поэтому $1-\lambda=0$ и $1+\lambda=0$, что невозможно. Значит, векторы неколлинеарны.

б) Предположим, что $2\vec a-\vec b$ и $\vec a+\vec b$ коллинеарны. Тогда $2\vec a-\vec b=\lambda(\vec a+\vec b)$, откуда $(2-\lambda)\vec a+(-1-\\lambda)\vec b=\vec 0$. Значит, $2-\lambda=0$ и $-1-\lambda=0$, то есть одновременно $\lambda=2$ и $\lambda=-1$, что невозможно. Следовательно, векторы неколлинеарны.

в) Предположим, что $\vec a+\vec b$ и $\vec a+3\vec b$ коллинеарны. Тогда $\vec a+\vec b=\lambda(\vec a+3\vec b)$, поэтому $(1-\lambda)\vec a+(1-3\lambda)\vec b=\vec 0$. Следовательно, $1-\lambda=0$ и $1-3\lambda=0$, то есть одновременно $\lambda=1$ и $\lambda=\frac13$, что невозможно. Значит, эти векторы неколлинеарны.

Ответ: все три пары векторов неколлинеарны.