10. Звери на поляне устроили соревнование по шашкам. Играли лиса, волк, заяц, белка и мышь. Все сыграли друг с другом по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

Решение:

В соревновании участвовали 5 зверей: лиса, волк, заяц, белка и мышь. Каждый зверь сыграл с каждым другим зверем по одной партии. Чтобы узнать общее количество партий, можно использовать формулу для числа сочетаний из \( n \) по 2, где \( n \) — количество участников. Это число партий, которые можно составить, выбирая по 2 участника из \( n \) участников.

Формула для числа сочетаний: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

В нашем случае \( n = 5 \) (количество зверей) и \( k = 2 \) (количество участников в одной партии).

\( C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10 \) партий.

Другой способ решения: можно посчитать, сколько партий сыграл каждый зверь, а затем сложить, но учесть, что каждая партия посчитана дважды (один раз для каждого участника).

Лиса сыграла с волком, зайцем, белкой, мышью (4 партии).

Волк сыграл с лисой (уже учтена), зайцем, белкой, мышью (3 новые партии).

Заяц сыграл с лисой, волком (уже учтены), белкой, мышью (2 новые партии).

Белка сыграла с лисой, волком, зайцем (уже учтены), мышью (1 новая партия).

Мышь сыграла со всеми (уже учтены).

Итого: \( 4 + 3 + 2 + 1 = 10 \) партий.

Ответ: Всего было сыграно 10 партий.