10. В треугольнике АВС отмечены середины М и № сторон ВС и АС соответственно. Площадь треугольника СММ равна 12. Найдите площадь четырехугольника АBMN.

1. Анализ задачи:

Нам дан треугольник \(ABC\) с отмеченными серединами сторон \(BC\) (точка \(M\)) и \(AC\) (точка \(N\)). Известна площадь треугольника \(CMN\) и нужно найти площадь четырёхугольника \(ABMN\).

2. Ключевые свойства:

• Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон и параллельна третьей стороне.
• Треугольник, образованный средней линией и двумя сторонами, подобен исходному треугольнику.
• Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

3. Решение:

Шаг 1: Определим, что \(MN\) является средней линией треугольника \(ABC\), так как \(M\) – середина \(BC\) и \(N\) – середина \(AC\). Следовательно, \(MN Ⅰ AB\) и \(MN = \frac{1}{2} AB\).

Шаг 2: Рассмотрим треугольники \(CMN\) и \(CAB\). У них угол \(C\) общий. Так как \(MN Ⅰ AB\), то \(∠ CMN = ∠ CBA\) и \(∠ CNM = ∠ CAB\) (как соответственные углы при параллельных прямых и секущих). Следовательно, треугольник \(CMN\) подобен треугольнику \(CAB\) по трём углам (или по двум углам, т.к. угол C общий).

Шаг 3: Коэффициент подобия \(k\) равен отношению соответствующих сторон. Так как \(M\) и \(N\) – середины, то \(CM = \frac{1}{2} CB\) и \(CN = \frac{1}{2} CA\). Значит, коэффициент подобия \(k = \frac{CM}{CB} = \frac{CN}{CA} = \frac{MN}{AB} = \frac{1}{2}\).

Шаг 4: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $$ \frac{S_{CMN}}{S_{CAB}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} $$

Шаг 5: Нам дана площадь треугольника \(CMN\), \(S_{CMN} = 12\). Используя соотношение из предыдущего шага, найдём площадь всего треугольника \(ABC\): $$ S_{CAB} = 4 · S_{CMN} = 4 · 12 = 48 $$

Шаг 6: Площадь четырёхугольника \(ABMN\) равна разности площади всего треугольника \(ABC\) и площади треугольника \(CMN\): $$ S_{ABMN} = S_{CAB} - S_{CMN} = 48 - 12 = 36 $$

4. Ответ:

Площадь четырёхугольника ABMN равна 36.